Transcription de la vidéo
Déterminez les angles directeurs du vecteur 𝐀 égal à deux fois le vecteur unitaire 𝐢 moins deux fois le vecteur unitaire 𝐤.
On nous donne un vecteur 𝐀 sous forme algébrique ou cartésienne. C’est-à-dire la composante 𝑥 multipliée par 𝐢 plus la composante 𝑦 multipliée par 𝐣 plus la composante 𝑧 multipliée par 𝐤, où 𝐢, 𝐣 et 𝐤 sont les vecteurs unitaires dans les directions positive 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Dans notre cas, la composante 𝐴 𝑥 est égale à deux. Et puisque le vecteur unitaire 𝐣 n’apparaît pas dans notre vecteur, la composante 𝐴 𝑦 est égale à zéro, et la composante 𝐴 𝑧 est égale à moins deux, puisque nous avons moins deux multiplié par 𝐤, le vecteur unitaire dans la direction 𝑧.
Considérant que pour trouver les angles directeurs du vecteur 𝐀 - et nous rappelons que les angles directeurs sont les angles thêta 𝑥, thêta 𝑦 et thêta 𝑧 que le vecteur décrit avec les axes 𝑥, 𝑦 et 𝑧, respectivement, et rappelant également que les cosinus directeurs sont les cosinus de ces angles, c’est-à-dire cosinus thêta 𝑥, cosinus thêta 𝑦 et cosinus thêta 𝑧 - par trigonométrie dans le triangle rectangle, nous savons que le cosinus de thêta 𝑥 est égal à la composante 𝑥 divisée par la norme du vecteur 𝐀, et de même, pour le cosinus de thêta 𝑦 et pour le cosinus de thêta 𝑧. Et rappelez-vous aussi que nous savons que la norme d’un vecteur est la racine carrée de la somme des carrés des composantes du vecteur.
Pour un vecteur 𝐀 alors, en substituant les valeurs des composantes dans la formule de la norme, nous avons la racine carrée de deux au carré plus zéro au carré plus moins deux au carré, qui est la racine carrée de huit et qui à son tour se simplifie en deux fois la racine carrée de deux. Et en faisant de l’espace et en notant cela, nous pouvons alors substituer cette valeur avec nos composantes dans les cosinus directeurs. Ainsi, par exemple, le cosinus de thêta 𝑥 est deux sur deux racine de deux, qui est un sur racine de deux. Et la rationalisation du dénominateur nous donne la racine carrée de deux sur deux. De même, cosinus thêta 𝑦 est égal à zéro sur deux racine de deux, et c’est égal à zéro. Et enfin, cosinus thêta 𝑧 est moins deux sur deux racine de deux, ce qui équivaut à moins racine de deux sur deux.
Maintenant, rappelez-vous, nous essayons de trouver les angles directeurs thêta 𝑥, thêta 𝑦 et thêta 𝑧. Et pour ce faire, nous prenons l’arccosinus de nos résultats. Ainsi thêta 𝑥 est l’arccosinus de racine de deux sur deux, qui est 45 degrés. Puis thêta 𝑦 est l’arccosinus de zéro, et c’est 90 degrés. Enfin, thêta 𝑧 est l’arccosinus de racine de moins deux sur deux, qui est 135 degrés. Et nous avons trois angles directeurs, tous compris entre zéro et 180 degrés.
Par conséquent, les angles directeurs du vecteur 𝐀 égal à deux 𝐢 moins deux 𝐤, sont thêta 𝑥 égal 45 degrés, thêta 𝑦 égal 90 degrés et 𝜃 𝑧 égal 135 degrés.
