Transcription de la vidéo
Discutez de la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥 égale moins deux, sachant qu’elle est définie par 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube plus huit sur 𝑥 au carré moins quatre si 𝑥 n’est pas égal à moins deux et 𝑓 de 𝑥 est égal à moins trois, si 𝑥 est égal à moins deux.
Il y a quatre options ici et je vais commencer par la B qui dit que la fonction est continue en 𝑥 égale moins deux. Les trois autres options disent que la fonction est discontinue pour diverses raisons. En effet, A dit qu’elle est discontinue en ce point parce que la valeur de la fonction 𝑓 en moins deux n’est pas égale à la limite de cette fonction lorsque 𝑥 tend vers moins deux. L’option C dit que 𝑓 de moins deux est indéfinie. L’option D dit qu’elle est discontinue car la limite n’existe pas.
Ces quatre options décrivent quatre scénarios différents. Je pense que cela vaut la peine de réfléchir à quoi ressemble la courbe de 𝑓 près de 𝑥 est égale à moins deux pour chacun d’entre eux. Ainsi, dans l’option A, la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux si 𝑓 de 𝑥 existe, mais elle est différente de 𝑓 de moins deux. Nous pouvons voir ce scénario illustré dans la figure en bas à gauche.
Vous pouvez voir que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux existe. Je vais l’agrandir, voilà, elle se situe quelque part autour de moins 1,5. Malheureusement, elle ne correspond pas à la valeur de la fonction lorsque 𝑥 égale moins deux, c’est-à-dire moins trois. Il s’agit donc d’une chose qui pourrait rendre la fonction discontinue.
L’option B est très similaire, sauf que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 est maintenant moins trois. Ce point est donc au bon endroit pour combler l’espace dans cette courbe et la fonction est continue.
L’option C décrit ce qui se passe lorsque 𝑓 de moins deux n’est pas définie. Je pense qu’il est assez clair que nous devons trouver 𝑓 de moins deux et en fait, il est ici. Nous savons donc que 𝑓 de 𝑥 égale moins trois si 𝑥 égale moins deux, mais si nous n’avions pas fait cela, il est possible que cette valeur ne soit pas définie et que la fonction elle-même ne soit pas définie.
Enfin, nous considérons l’option D, où la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas. Vous pouvez voir sur la figure que j’ai suggéré que cela pourrait être parce qu’il y a une asymptote verticale en 𝑥 est égal à moins deux. Ainsi, la fonction est discontinue en ce point même si elle est définie. 𝑓 de moins deux est égal à moins trois, mais de chaque côté de cela, la fonction passe de plus à moins l’infini Bien sûr, il ne s’agit pas nécessairement d’une asymptote. Cela pourrait être juste un saut, une discontinuité. De toute façon, cela reste une option.
La première étape consiste à trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥. Pourquoi faisons-nous cela ? Bien, si la limite existe, mais n’est pas égale à 𝑓 de moins deux, soit moins trois, alors la réponse est l’option A. Si la limite existe, mais égale moins trois, alors la fonction est continue. Ainsi, l’option B sera notre réponse. Pour l’option C, nous pouvons l’oublier sereinement car 𝑓 de moins deux est définie et vaut moins trois. Si la limite n’existe pas, alors la réponse est l’option D.
Nous voulons déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux or, lorsque 𝑥 tend vers moins deux, il n’atteint jamais deux. La valeur de cette limite ne dépend donc pas de la valeur de la fonction lorsque 𝑥 est égal à moins deux ; elle ne dépend que de la valeur de la fonction lorsque 𝑥 est différent de moins deux. Nous pouvons donc utiliser cette formule en toute sécurité à la place de 𝑓 de 𝑥. Nous avons donc obtenu cette fonction rationnelle ici : 𝑥 cube plus huit sur 𝑥 carré moins quatre.
Nous savons que toute fonction rationnelle est continue là où elle est définie. Nous pourrions donc simplement essayer de substituer moins deux à 𝑥 dans cette fonction rationnelle. Espérons qu’elle soit définie. Si c’est le cas, alors la valeur sera également la limite par la définition de la continuité. D’accord, nous substituons donc par moins deux. Sachant que moins deux au cube vaut moins huit et vu que moins deux au carré vaut quatre, nous obtenons zéro sur zéro, ce qui est indéterminé. Pas de chance, nous ne pouvons pas déterminer la limite à partir de cette expression. Seulement, à partir du théorème des facteurs, le numérateur et le dénominateur de cette fonction rationnelle ont un facteur commun de 𝑥 plus deux. Simplifions cette fraction.
Vous pourriez être en mesure de reconnaître que le dénominateur est la différence de deux carrés. Ainsi, ce facteur ici sera 𝑥 moins deux. Qu’en est-il de l’autre facteur du numérateur ? Bien, il semble que cela devrait donner un polynôme du second degré. Nous pourrions donc écrire la forme générale d’un polynôme du second degré et trouver les coefficients. Bien, ceci est la forme générale d’un polynôme du second degré. Permettez-moi maintenant de multiplier les parenthèses du numérateur.
J’ai multiplié les parenthèses du numérateur. Bien sûr, je veux terminer avec 𝑥 cube plus huit qui est, après tout, ce que nous essayons de factoriser. Maintenant, je vais comparer les coefficients. Le coefficient de 𝑥 au cube à gauche est 𝑎 et à droite – un peu caché – nous avons un. Nous pouvons donc dire que 𝑎 est égal à un. Le coefficient de 𝑥 au carré à gauche est deux 𝑎 plus 𝑏, soit deux plus 𝑏 car 𝑎 vaut un. De plus, nous avons zéro à droite. Il n’y a pas de terme en 𝑥 au carré qui soit explicitement écrit. Nous voyons donc que deux 𝑎 plus 𝑏 est égal à zéro. Comme nous l’avons déjà dit, 𝑎 vaut un, donc deux plus 𝑏 est égal à zéro et 𝑏 est égal à moins deux.
Nous suivons un processus très similaire pour le coefficient en 𝑥, qui est deux 𝑏 plus 𝑐 à gauche et, non mentionné, donc zéro à droite. Résoudre ceci donne 𝑐 égal à quatre, puis dans notre dernière équation, le coefficient de 𝑥 à la puissance zéro ou le terme constant à gauche est deux 𝑐, nous avons huit à droite, deux 𝑐 vaut donc huit, cela correspond à ce que nous avons, 𝑐 vaut donc quatre. Tout est donc cohérent et nous avons les coefficients. Plaçons-les. Bien, nous y voilà.
Maintenant, je vais affirmer que je peux supprimer ces deux facteurs de 𝑥 plus deux. Pourquoi puis-je faire ça ? Bien, il me suffit de dire que ni l’un ni l’autre n’est nul parce que 𝑥 est différent de moins deux car nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux, ce qui signifie que 𝑥 n’atteint jamais moins deux.
Bien, nous avons donc la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux d’une expression rationnelle légèrement plus simple, que nous pouvons considérer comme une fonction rationnelle. Nous allons penser à l’évaluer en la valeur moins deux comme nous l’avions essayé auparavant. Cette fois, nous allons espérer que nous n’obtiendrons pas zéro sur zéro. Nous espérons obtenir un nombre réel, car si nous obtenons un nombre réel lorsque nous évaluons l’expression, nous savons qu’il s’agira de la limite de cette expression lorsque 𝑥 tend vers moins deux.
Ici, je viens de substituer par moins deux. Maintenant, évaluons. Nous simplifions donc le numérateur pour trouver 12 et le dénominateur pour trouver moins 4. 12 divisé par moins quatre vaut moins trois. Il s’agit d’un nombre réel, nous avons donc trouvé cette limite. Très bien ! La première étape est terminée. Que faisons-nous maintenant ?
Jetons un coup d’œil sur les options. Rappelez-vous que nous avons déjà rayé l’option C car nous savions que 𝑓 de moins deux est défini. Maintenant, nous avons trouvé que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux vaut moins trois. Nous savons donc que la limite de 𝑓 de 𝑥 existe. L’option D est fausse, nous la rayons également de la liste.
Cela nous laisse donc deux options : l’option A et l’option B. Comme indiqué précédemment, la question était de savoir si 𝑓 de moins deux était égale à la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux. Bien sûr, nous pouvons voir clairement la valeur de 𝑓 de moins deux. On nous dit qu’elle est de moins trois.
Ainsi, en comparant cela à la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥, nous voyons que ces valeurs sont identiques. Cela élimine donc l’option A, qui dit qu’elles sont différentes et non égales, alors qu’elles sont en fait égales à moins trois. Ainsi, la seule option qui nous reste, et bien sûr l’option qui est logique, est que la fonction est continue en 𝑥 égale moins trois.
En effet, cela est logique parce qu’il s’agit de la définition de la continuité d’une fonction en un point donné. Pour que la fonction soit continue en un point, elle doit être définie en ce point. De plus, la valeur de la fonction en ce point doit être égale à la limite de la fonction lorsque 𝑥 approche ce point. Ainsi, notre réponse est B. La fonction est continue en 𝑥 égale moins deux.
