Transcription de la vidéo
Lequel des choix suivants correspond à l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction représentée ci-dessous. Option (A) l'ensemble de définition est l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite moins ∞ un, et l’ensemble image est l’ensemble des nombres réels. Option (B) l’ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels, et l’ensemble image est l’ensemble des nombres réels. Option (C) l’ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels, et l’ensemble image est l’intervalle ouvert moins ∞ un. Option (D) l’ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels, et l’ensemble image est l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite, moins ∞ un. Ou est-ce l’option (E) ? L’ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels, et l’ensemble image est l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite un plus ∞ ?
Dans cette question, il faut déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction à partir de sa représentation graphique. Pour ce faire, commençons par rappeler qu’est-ce que nous entendons par l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction. L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée pour cette fonction et l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble des valeurs de sortie possibles pour cette fonction, étant donné son ensemble de définition. On peut déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction à partir de sa représentation graphique en rappelant comment on représente graphiquement une fonction. Chaque point de la courbe a une abscisse 𝑥 égale à la valeur d’entrée de la fonction, et l’ordonnée 𝑦 de chaque point est la valeur de sortie correspondante de la fonction.
Cela veut dire que l'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble de toutes les abscisses 𝑥 des points qui appartiennent à son graphe et l'ensemble image d'une fonction est l'ensemble de toutes les ordonnées 𝑦 des points appartenant à son graphe. Trouvons d'abord l'ensemble de définition de la fonction à partir de son graphe. Nous voulons déterminer toutes les valeurs d'entrées possibles de la fonction et pour ce faire, on considère des droites verticales. Par exemple, on voit que la droite verticale 𝑥 égale quatre coupe le graphe de notre fonction. Cela veut dire que quatre est une valeur d'entrée de la fonction. En fait, la valeur de sortie de la fonction en 𝑥 égale quatre est l'ordonnée 𝑦 de ce point, moins sept.
En poursuivant ce processus pour d'autres valeurs d'entrée, on peut remarquer que toutes les valeurs possibles de 𝑥 sont des valeurs d'entrées de la fonction. Par exemple, la droite verticale 𝑥 égale moins six coupe la courbe. Pour vérifier que cela est vrai, on rappelle que la courbe s'étend indéfiniment dans les deux directions. On pourra représenter cela par des flèches sur le graphe. Maintenant, puisque toute droite verticale coupe la courbe, toute valeur réelle de 𝑥 est une valeur d'entrée possible de la fonction. Par conséquent, l'ensemble de définition de la fonction représentée est l'ensemble de tous les nombres réels. On peut utiliser cette information pour éliminer l’option (A) car elle n’inclut pas tous les nombres réels dans l’ensemble de définition.
Considérons maintenant l’ensemble image de la fonction, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les valeurs de sortie de la fonction. On détermine les valeurs de sortie possibles de la fonction en considérant les ordonnées 𝑦 des points de la courbe. Par exemple, on voit que moins sept est une valeur de sortie possible de la fonction puisque la droite horizontale 𝑦 égale moins sept coupe la courbe. De même, l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les ordonnées 𝑦 des points appartenant à sa courbe. Nous pouvons donc déterminer l’ensemble image d’une fonction à partir de son graphe en cherchant quelles droites horizontales coupent la courbe.
Considérons les droites horizontales qui coupent le graphe. On remarque que la droite horizontale la plus haute qui coupe le graphe est 𝑦 égale un. Il faut noter deux choses à ce sujet. Premièrement, si on appelle notre fonction 𝑓, on a montré que 𝑓 de zéro égale un, donc un est dans l'ensemble image de 𝑓. Deuxièmement, aucune droite horizontale supérieure à un ne coupe la courbe, donc aucune valeur supérieure à un n'est dans l'ensemble image de la fonction. On note également que toute droite horizontale inférieure à 𝑦 égale un coupe la courbe. Donc toutes les valeurs inférieures ou égales à un sont dans l'ensemble image de cette fonction.
On souhaite écrire cela comme un ensemble. Et pour ce faire, on va utiliser la notation d’intervalle. On désire inclure toutes les valeurs inférieures ou égales à un. C’est en utilisant un crochet ouvert en moins ∞ pour montrer que moins ∞ n’est pas incluse et un crochet fermé à coté de un pour montrer que un est un élément de l’ensemble image. On remarque que c’est la proposition (D). Par conséquent, l’ensemble de définition de la fonction représentée dans la figure est l’ensemble de tous les nombres réels, et l’ensemble image de la fonction donnée est l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite, moins ∞ un.
