Transcription de la vidéo
Une corde uniforme est mise en rotation horizontalement depuis l’une de ses extrémités, comme indiqué sur la figure.. L’extrémité de la corde opposée à l’extrémité fixe revient à sa position toutes les 0,65 secondes. L’extrémité libre de la corde se déplace à vitesse constante d’un point 𝐴 à un point 𝐵. Le rapport entre la valeur de l’accélération centripète au point 𝐴 et la valeur de l’accélération centripète au point 𝐷 est 𝑅 un. Le rapport entre la valeur de l’accélération centripète au point 𝐴 et la valeur de l’accélération centripète au point 𝐵 est 𝑅 deux. Que vaut 𝑅 un divisé par 𝑅 deux ?
Cette question fait référence à un ensemble de points sur un objet qui se déplace dans une trajectoire circulaire. Ces points comprennent la paire constituée du point 𝐴 et du point 𝐵 et la paire constituée du point 𝐴 et du point 𝐷. Les points 𝐴 et 𝐵 sont sur le même trajet circulaire, tandis que les points 𝐴 et 𝐷 sont sur des trajets différents. Lorsqu’une partie de la corde se trouve en un de ces points, elle subit une accélération centripète vers le centre du cercle. Le rapport de l’accélération centripète de la corde au point 𝐴 à celui au point 𝐷 est 𝑅 un. Le rapport de l’accélération centripète au point 𝐴 par rapport à celle au point 𝐵 est 𝑅 deux. On cherche à calculer 𝑅 un divisé par 𝑅 deux.
Rappelons d’abord que l’accélération centripète peut être exprimée comme 𝑎 égale 𝑣 au carré sur 𝑟, où 𝑣 est la vitesse tangentielle de l’objet à une distance 𝑟 du centre de l’arc circulaire dans lequel l’objet se déplace. On peut également écrire cette expression comme 𝐴 est égal à ω fois au carré 𝑟, où ω est la vitesse angulaire exprimée en radians par seconde. Lorsque la corde dans cet exemple tourne, elle tourne à certains points plus rapidement et à d’autres points plus lentement. Quelle que soit sa position, la vitesse angulaire de la corde est la même pour tous les points de sa longueur. Ainsi, par exemple, la vitesse angulaire de la corde au point 𝐴 est la même que sa vitesse angulaire au point 𝐶.
L’énoncé de la question nous dit que l’extrémité libre de la corde se déplace à vitesse constante du point 𝐴 au point 𝐵. Cela signifie que les vitesses angulaires de la corde en ces points, que l’on appelera les vitesses ω 𝐴 et ω 𝐵, sont égales. Puisque les points 𝐴 et 𝐵 sont également à la même distance de l’extrémité fixe de la corde, par notre équation précédente, on peut dire que l’accélération centripète de la corde au point 𝐴, on l’appelera 𝑎 indice 𝐴, est égale au centripète de la corde accélération au point 𝐵, 𝑎 indice 𝐵. Cela signifie que 𝑅 deux doit être égal à un.
Ensuite, considérons les points 𝐴 et 𝐷. Appelons la distance du point 𝐴 à l’extrémité fixe de la corde 𝑟 indice 𝐴, soit 0,22 mètres, et la distance du point 𝐷 à l’extrémité fixe 𝑟 indice 𝐷. Cela donne 0,16 mètres. On nous dit qu’il faut 0,65 seconde à la corde pour effectuer une rotation complète. Sachant cela et en rappelant que la vitesse est égale à la distance divisée par le temps, on peut calculer la vitesse tangentielle de la corde aux points 𝐴 et 𝐷. En faisant de la place à l’écran, on peut écrire que la vitesse tangentielle de la corde au point 𝐴, 𝑣 indice 𝐴, est deux fois 𝜋 fois 𝑟 indice 𝐴 divisé par 0,65 seconde.
En rappelant notre première équation pour l’accélération centripète, on peut dire que l’accélération centripète de la corde au point 𝐴 est égale à 𝑣 indice divided au carré divisé par 𝑟 indice 𝐴. Puisque 𝑣 indice 𝐴 est égal à deux fois 𝜋 fois 𝑟 indice 𝐴 sur 0,65 secondes, on sait qu’un facteur de 𝑟 indice A s’annulera au numérateur et au dénominateur. 𝑎 indice 𝐴 est égal à quatre 𝜋 fois au carré 𝑟 indice 𝐴 divisé par 0,65 seconde au carré. 𝑟 indice 𝐴 vaut 0,22 mètre, donc 𝑎 indice 𝐴 vaut 20,556 et ainsi de suite mètres par seconde au carré.
En gardant ce résultat sur le côté, on peut maintenant effectuer un calcul similaire pour 𝑎 indice 𝐷. La vitesse tangentielle de la corde au point 𝐷, 𝑣 indice 𝐷, est égale à deux fois 𝜋 fois 𝑟 indice 𝐷 divisé par 0,65 seconde. 𝑎 indice 𝐷 est 𝑣 indice 𝐷 au carré sur 𝑟 indice 𝐷. Et en insérant 𝑣 indice 𝐷, on constate à nouveau qu’un facteur de la distance radiale s’annule en haut et en bas. 𝑎 indice 𝐷 est égal à quatre 𝜋 fois au carré 𝑟 indice 𝐷 divisé par 0,65 seconde au carré. 𝑟 indice 𝐷 est de 0,16 mètres. Donc, 𝑎 indice 𝐷 calcule à 14,950 et ainsi de suite mètres par seconde au carré.
Maintenant que l’on connait 𝑎 indice 𝐴 et 𝑎 indice 𝐷, on peut calculer leur rapport. À trois décimales près, cela nous donne 1,375. Notons que les unités se sont complètement effacées de l’expression. Notre question nous a demandé de calculer le rapport 𝑅 un sur 𝑅 deux. Puisque 𝑅 deux vaut simplement un, le rapport est égal à 𝑅 un lui-même, ou 1,375. Il s’agit du rapport de l’accélération centripète de la corde au point 𝐴 sur celle du point 𝐷 à l’accélération centripète de la corde au point 𝐴 sur celle du point 𝐵.
