Vidéo question :: Déterminer les coordonnées du centre de gravité d’une plaque uniforme composée d’un triangle et d’un rectangle Mathématiques • Troisième secondaire

Transcription de la vidéo

Deux plaques uniformes faites du même matériau sont jointes pour ne former qu'un seul corps. La première est un rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 où 𝐴𝐵 = 16 centimètres et 𝐵𝐶 est égal à sept centimètres. Et la seconde est un triangle isocèle 𝐶𝐸𝐷 où 𝐷𝐸 est égal à 𝐶𝐸 est égal à 17 centimètres et le sommet 𝐸 se situe en dehors du rectangle. Déterminez les coordonnées du centre de gravité de la surface, sachant que le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 est dans le premier quadrant, 𝐵 est situé en l'origine du repère, et que 𝐶 est situé sur l'axe des 𝑥.

D’accord, nous voyons dans notre schéma ces deux plaques. Ici, nous avons un rectangle et là un triangle. Et on nous donne certaines mesures impliquées dans le schéma. 𝐴𝐵, est donné, mesure 16 centimètres. 𝐵𝐶 est de sept centimètres. Et le segment 𝐷𝐸 sur notre triangle est de 17 centimètres, dont la longueur est identique à celle du segment 𝐶𝐸. Sachant tout cela, nous voulons trouver les coordonnées du centre de gravité de ces plaques. Et la première chose que nous pouvons dire à ce sujet est, dans ce cas, c’est que le centre de gravité est situé au même point que le centre de masse de ces laminas.

Parce que nous supposons un champ gravitationnel uniforme pour ces plaques, donc en calculant une grandeur, nous calculons l’autre au même temps. Puisque nous avons ces deux plaques, le rectangle et le triangle, étant assemblées, nous allons adopter la méthode suivante. Tout d’abord, on va considérer ces figures séparément et calculer leurs centres de gravité individuellement. Une fois que nous connaissons ces grandeurs, nous les combinons pour déterminer le centre de gravité global de notre système. Et comme nous l’avons mentionné, ce sera le même que le centre de masse de ces plaques. Pour faire cela, libérons de l’espace à l’écran. Et nous pouvons commencer par calculer le centre de gravité de la plaque rectangulaire.

Ce point sera situé à la position moyenne de la masse dans un rectangle. Parce que la plaque qui forme ce rectangle est uniforme, cela nous dit que son centre de gravité sera au milieu de sa largeur et à mi-hauteur de sa longueur totale. C’est-à-dire que l’abscisse 𝑥 du centre de gravité du rectangle est un demi de sept centimètres, tandis que l’ordonnée 𝑦 est un demi de 16 centimètres. Nous avons alors les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de gravité de la plaque rectangulaire. Ensuite, calculons la position du centre de gravité de la plaque triangulaire.

Ce que nous allons faire ici, c’est utiliser le fait que, pour tout triangle, qu’il soit isocèle comme nous l’avons ici ou non, lorsque ce triangle est uniforme, son centre de gravité est situé à la position moyenne des coordonnées 𝑥 et 𝑦 de ses sommets. En d’autres termes, si nous calculons les coordonnées 𝑥 et 𝑦 des sommets 𝐷, 𝐸 et 𝐶, alors l’abscisse 𝑥 du centre gravité de ce triangle sera la moyenne de ces trois abscisses 𝑥. Et de même, l’ordonnée 𝑦 de son centre de gravité sera la moyenne de ces ordonnées 𝑦.

Alors calculons les coordonnées de ces trois sommets, et nous commencerons par le sommet 𝐷. Et pour simplifier l’écriture, nous laisserons de côté nos unités de centimètres. Donc, pour considérer les coordonnées du sommet 𝐷, nous savons que le point 𝐵 de notre rectangle est situé à l’origine de notre repère. On peut alors dire que les coordonnées du sommet 𝐷 sont sept dans la direction 𝑥 et 16 dans la direction 𝑦. Si nous considérons ensuite les coordonnées du sommet 𝐶, l’abscisse 𝑥 ici est à nouveau sept, tandis que l’ordonnée 𝑦 est zéro.

Enfin, nous voulons calculer les coordonnées du sommet 𝐸. En ce qui concerne l’abscise 𝑥 de ce point, nous pouvons voir que ce sera sept centimètres plus cette distance ici. Cette distance s’avère être ce que nous pourrions appeler la hauteur de ce triangle. Autrement dit, si cette longueur de 𝐷 à 𝐶 est la base, alors la ligne en pointillé représente la hauteur. Si nous considérons cette hauteur comme un côté d’un triangle rectangle, nous voyons que les deux autres longueurs latérales sont de huit centimètres et de 17 centimètres. Par le théorème de Pythagore, cette hauteur que nous voulons calculer est égale à la racine carrée de 17 au carré moins huit au carré. Cela revient à 15.

Donc, si cette dimension de notre triangle est de 15 centimètres, alors l’abscisse 𝑥 du sommet 𝐸 doit être de 15 centimètres plus sept centimètres. Cela fait 22 centimètres. Et ensuite, nous pouvons écrire l’ordonnée 𝑦 de ce sommet. Parce que nous travaillons avec un triangle isocèle, cette ordonnée 𝑦 du sommet 𝐸 est égale à un demi de la hauteur de notre rectangle, c’est-à-dire huit centimètres. Étant donné que nous connaissons les coordonnées de nos trois sommets triangulaires, nous sommes prêts à calculer les valeurs moyennes des abscisses 𝑥 et ordonnées 𝑦 de ces sommets.

La valeur moyenne des abscisses 𝑥 est égale à sept plus sept plus 22 divisé par trois - cela équivaut à 36 sur trois ou 12 - tandis que la valeur moyenne des ordonnées 𝑦 est égale à 16 plus zéro plus huit divisé par trois. Soit 24 sur trois ou huit. Par conséquent, le centre de gravité de notre triangle a les coordonnées 12, huit. Une fois que nous connaissons cette valeur ainsi que les coordonnées du centre de gravité du rectangle, nous pouvons dire que toute la masse de nos deux plaques est effectivement concentrée en ces deux points. La masse du rectangle est effectivement située ici et celle du triangle ici.

Rappelons que notre objectif est de calculer les coordonnées du centre de gravité de notre système entier, les deux plaques ensemble. Mathématiquement, nous pouvons traiter notre système comme un système de deux points, contenant effectivement toute la masse du rectangle et du triangle, respectivement. Pour calculer le centre de gravité global de notre système, nous devons connaître la masse relative d’une figure à l’autre. Pour ce faire, nous allons nous appuyer sur le fait que les plaques sont uniformes. Cela signifie que le rapport des aires de ces deux figures est le même que le rapport de leurs masses.

Si, par exemple, l’aire de notre triangle était deux fois celle de notre rectangle, cela signifierait qu’il aurait également sa masse sera aussi le double de celle du rectangle. En raison de cette correspondance entre l’aire et la masse, notre prochaine étape sera de calculer les aires de ces deux figures. En commençant par le rectangle, nous savons qu’il a des dimensions de sept centimètres et 16 centimètres. Sept fois 16 est égal à 112 qui est l’aire du rectangle en centimètres carrés. Pour l’aire de notre triangle, en général, cela équivaut à un demi de la base d’un triangle fois sa hauteur. Ici, nous avons considéré cette distance comme la base de notre triangle et cette distance sa hauteur relative. On peut donc dire que notre triangle a une aire d’un demi fois 16 centimètres multipliée par une hauteur de 15 centimètres. Et en multipliant ces valeurs ensemble, nous obtenons un résultat de 120.

Nous voyons alors que notre triangle a une aire plus grande que notre rectangle. Et donc, par le même rapport, il a une plus grande masse. Nous pourrions dire que si le triangle a 120 unités de masse, alors le rectangle a 112 de ces mêmes unités. Tout cela est important pour calculer le centre de gravité global de notre système car, en général, l’abscisse 𝑥 du centre de gravité d’une collection de masses est égale à la somme du produit de chaque masse par son abscisse 𝑥 moyenne divisée par la somme des masses individuelles. Dans notre scénario, nous avons deux masses, celle du rectangle et celle du triangle. Et chacune, comme nous l’avons vu, a une abscisse 𝑥 que nous avons calculée plus tôt.

En appliquant cette relation alors pour calculer l’abscisse 𝑥 du centre de gravité global de notre système, elle serait égale à la masse effective de notre rectangle, 112, multipliée par l’abscisse 𝑥 de son centre de gravité plus la masse effective de notre triangle fois l’abscisse 𝑥 de son centre de gravité le tout divisé par la somme de nos deux masses effectives. Cela équivaut à 1832 sur 232 ou, complètement simplifiée, à 229 sur 29. Nous pouvons maintenant passer au calcul de l’ordonnée 𝑦 du centre de gravité. La formule pour ce faire est la même que pour calculer l’abscisse 𝑥, sauf que maintenant nous utilisons l’ordonnée 𝑦 moyenne de chacune des masses de notre système.

En appliquant cette relation à notre scénario, nous utilisons la masse effective de notre rectangle multipliée par l’ordonnée 𝑦 du centre de gravité de cette forme et nous lui ajoutons la masse effective de notre triangle multipliée par l’ordonnée 𝑦 de son centre de gravité. Tout cela est divisé par la somme de nos deux masses, et cela est égal à 232 fois huit divisé par 232. Nous voyons alors que cela se simplifie à huit. Donc, en rassemblant tout cela, nous pouvons dire que les coordonnées du centre de gravité de notre système sont 229 sur 29 centimètres dans la direction 𝑥 et huit centimètres dans la direction 𝑦. C’est la position du centre de gravité de notre système global.