Transcription de la vidéo
Utilisez les dérivées pour déterminer le graphique qui correspond à la courbe représentative de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 au cube plus six 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus un.
On nous propose cinq graphes pour notre fonction et nous pouvons tout de suite en éliminer quelques-uns en remarquant que notre fonction est une fonction cubique et que son coefficient de 𝑥 au cube est négatif. Cela signifie que quand 𝑥 tend vers moins ∞, la fonction tend vers plus ∞ et quand 𝑥 tend vers plus ∞, la fonction tend vers moins ∞. Nous en déduisons que notre graphe sera soit le graphe (D), soit le graphe (E). Nous pourrions maintenant déterminer les points d’intersection de la fonction avec l’axe des 𝑥 en posant que 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro et en résolvant l’équation du troisième degré résultante. Le nombre de solutions réelles obtenues nous permettrait d’identifier le bon graphe entre les graphes (D) et (E).
Cette méthode est parfaitement valide, cependant, on nous demande dans la question d’utiliser la dérivation. Nous savons que nous pouvons utiliser la dérivation pour trouver les points critiques d’une fonction et ainsi identifier le bon graphe. Les points critiques d’une fonction sont les points en lesquels la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 s’annule ou n’existe pas. Notre fonction 𝑓 de 𝑥 est un polynôme du troisième degré, sa dérivée est donc définie pour tout 𝑥. Nous n’avons donc pas besoin de nous demander s’il existe des points où la dérivée n’existe pas.
Pour déterminer une expression de 𝑓 prime de 𝑥, nous pouvons utiliser la règle de dérivation d’une puissance. Nous allons dériver terme par terme en multipliant par la puissance d’origine et en diminuant de un la puissance. Puisque dériver une constante donne toujours zéro, nous obtenons 𝑓 prime de 𝑥 égale moins trois 𝑥 au carré plus 12𝑥 moins neuf.
Nous allons maintenant poser l’équation 𝑓 prime de 𝑥 égale zéro. En divisant par moins trois des deux côtés, cela se simplifie en 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus trois égale zéro. Nous allons maintenant factoriser le polynôme du second degré du membre de gauche. Cela nous donne 𝑥 moins un multiplié par 𝑥 moins trois. En effet, moins un et moins trois ont un produit égal à trois et une somme égale à moins quatre. Le produit des facteurs est nul, donc au moins l’un des facteurs est nul. Nous avons 𝑥 égale un ou 𝑥 égale trois. Par conséquent, les coordonnées 𝑥 des points critiques de notre fonction sont 𝑥 égale un et 𝑥 égale trois. Nous les retrouvons dans les graphes (B), (C) et (D).
Seulement, puisque nous avions déjà établi que les graphes (B) et (C) n’avaient pas la bonne forme, nous pouvons confirmer que la bonne réponse est le graphe (D) en remplaçant nos valeurs de 𝑥 dans notre fonction. Cela nous donnera les coordonnées 𝑦 des points critiques. Commençons par calculer 𝑓 de un. Cela donne moins un au cube plus six fois un au carré moins neuf fois un plus un, ce qui fait moins trois.
Puis, nous calculons 𝑓 de trois en remplaçant 𝑥 par trois dans 𝑓 de 𝑥, ce qui nous donne 𝑓 de trois est égal à moins trois au cube plus six fois trois au carré moins neuf fois trois plus un. Ceci est égal à un. Ainsi, les points critiques de notre fonction ont pour coordonnées un, moins trois et trois, un. Cela correspond effectivement au graphe (D). Nous pouvons donc conclure qu’il s’agit du graphe de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 au cube plus six 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus un.
Bien que cela ne soit pas demandé dans la question, nous pourrions aller plus loin en vérifiant que le point un, moins trois est un minimum local de notre fonction et que le point trois, un est un maximum local. Pour cela, nous considérerions la dérivée seconde de notre fonction en ces deux points. Si elle est positive, alors nous avons un minimum local. Si elle est négative, nous avons un maximum local.
