Transcription de la vidéo
Déterminer la dérivée troisième de la fonction définie par 𝑦 égale moins six fois cosinus deux 𝑥.
On nous a donné 𝑦 une fonction trigonométrique en 𝑥. On nous demande de déterminer la dérivée troisième de 𝑦. Il s'agit de la dérivée troisième de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous allons donc commencer par déterminer la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥. Il s’agit de la dérivée de moins six cosinus deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Pour cela, rappelons l'un de nos résultats classiques sur les dérivées trigonométriques. Pour toute constante réelle 𝑎, la dérivée de moins cosinus 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 sera égale à 𝑎 fois sinus 𝑎𝑥. Nous constatons que notre dérivée n'est pas exactement sous cette forme. Nous allons placer le coefficient constant 6 en dehors de notre dérivée.
Nous obtenons l'expression suivante et nous pouvons voir qu'elle est exactement sous cette forme où 𝑎 est égal à deux. En fixant la valeur de 𝑎 à deux, nous pouvons donc dériver moins cosinus de deux 𝑥 par rapport à 𝑥 et obtenir deux fois sinus deux 𝑥. Ensuite, nous pourrons inclure notre coefficient dans cette expression. Six fois deux vaut 12. Ainsi, nous avons montré que d𝑦 sur d𝑥 est égale à 12 sinus deux 𝑥. Cependant, nous devons déterminer l'expression de la troisième dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous devons dériver à nouveau cette expression. Nous dérivons pour déterminer que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égale à la dérivée de 12 sinus deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Une fois de plus, nous simplifions cette expression. Nous allons placer le coefficient constant de 12 en dehors de notre dérivée.
Ainsi, pour obtenir l'expression de d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré, il nous faut dériver sinus de deux 𝑥 par rapport à 𝑥. A nouveau, nous pouvons le faire en utilisant le résultat de dérivation trigonométrique standard. Pour toute constante réelle 𝑎, la dérivée de sinus 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois cosinus 𝑎𝑥. Encore une fois, nous constatons que la valeur de notre constante 𝑎 est égale deux. Ainsi, en utilisant le fait que 𝑎 vaut deux, nous obtenons d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égale à 12 fois deux cosinus deux 𝑥. Nous pouvons donc calculer notre coefficient. 12 fois deux vaut 24. Ainsi, nous avons montré que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à 24 fois cosinus deux 𝑥.
Pour déterminer la dérivée troisième de 𝑦 par rapport à 𝑥, il nous suffit de la dériver par rapport à 𝑥 une fois de plus. Nous devons donc dériver 24 cosinus deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Pour cela, nous pouvons utiliser un résultat de dérivation trigonométrique. Pour toute constante réelle 𝑎, la dérivée de cosinus 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est moins 𝑎 fois sinus 𝑎𝑥. De la même manière que précédemment, nous plaçons le coefficient constant de 24 en dehors de notre dérivée et ensuite nous calculons notre dérivée en fixant la valeur de 𝑎 à deux. Nous obtenons ainsi d trois 𝑦 sur d𝑥 au cube, ce qui correspond à 24 fois moins deux sinus deux 𝑥.
Finalement, en incluant notre coefficient, nous obtenons moins 48 fois sinus deux 𝑥, qui est notre réponse finale. Ainsi, nous avons pu montrer que si 𝑦 égale moins six fois cosinus deux 𝑥, la dérivée troisième de 𝑦 par rapport à 𝑥 sera égale à moins 48 fois sinus deux 𝑥.
