Dans cette fiche explicative, nous allons pprendre à calculer le rayon orbital d’un électron à différents niveaux d’énergie d’un atome d’hydrogène.
Le modèle de Bohr est une description simplifiée de l’atome. Elle stipule, entre autres, que les électrons dans les atomes occupent des orbites circulaires autour du noyau, de façon semblable aux planètes qui tournent autour du soleil. Dans cette fiche explicative, nous allons examiner le modèle de Bohr en détail et voir comment nous pouvons nous en servir pour calculer avec précision la quantité de mouvement angulaire et le rayon orbital d’un électron dans un atome.
Les physiciens utilisent des modèles pour décrire le comportement de systèmes physiques. Un modèle peut être mis à l’épreuve par des expériences qui comparent les prédictions du modèle au comportement observé d’un système physique. Si une expérience révèle qu’un modèle est inexact, alors les physiciens doivent soit changer le modèle, soit en développer un nouveau qui peut décrire avec précision les résultats expérimentaux observés.
Historiquement, les scientifiques ont utilisé divers modèles pour décrire des atomes. Notez que ces schémas ne sont pas à l’échelle.
- Le modèle cubique, proposé en 1902, décrit des atomes comme des cubes de matière chargés positivement avec des électrons chargés négativement aux sommets.
- Le modèle du gâteau aux fruits, proposé en 1904, décrit des électrons comme des boules de matière chargées positivement parsemées d’électrons chargés négativement. Ce modèle a amélioré les prédictions faites auparavant par le modèle cubique.
- En 1913, les physiciens Niels Bohr et Ernest Rutherford ont proposé le modèle Rutherford – Bohr, qu’on appelle le plus souvent maintenant simplement le modèle de Bohr. Le modèle décrit les électrons comme de petites particules chargées négativement en orbite autour d’un noyau dense chargé positivement.
- Aujourd’hui, les physiciens utilisent un modèle de mécanique quantique qui décrit les positions des électrons en fonction de probabilités. La mécanique quantique nous permet de décrire le comportement des atomes et des électrons avec une grande précision. Cependant, il est possible qu’à l’avenir, notre modèle de mécanique quantique soit affiné ou remplacé pour tenir compte de nouvelles observations expérimentales.
Ainsi, aujourd’hui, nous reconnaissons que le modèle de Bohr est une simplification du comportement des atomes. Cependant, le développement du modèle de Bohr a eu une grande influence et s’est montré utile aux scientifiques à cette époque car il englobait certaines caractéristiques clés des atomes et permettait aux scientifiques de faire des prédictions précises sur certains atomes. En fait, le modèle de Bohr nous est toujours utile comme approximation du comportement des atomes, en particulier lorsqu’ils ne possèdent qu’un seul électron.
Regardons maintenant de plus près le fonctionnement du modèle de Bohr et son utilisation pour émettre des prédictions sur le comportement des atomes.
Selon le modèle de Bohr, les électrons sont décrits comme des particules chargées négativement en orbite autour d’un noyau chargé positivement. Comme les électrons sont chargés négativement, ils subissent une attraction électrostatique vers le noyau, ce qui les amène en orbite autour. Ceci est semblable à la manière dont la force gravitationnelle attractive entre la Terre et le Soleil amène la Terre à orbiter autour du Soleil.
De plus, le modèle de Bohr va encore plus loin : il indique que la quantité de mouvement angulaire d’un électron en orbite est quantisée, ce qui signifie qu’elle ne peut prendre que certaines valeurs spécifiques. Plus précisément, le modèle de Bohr nous indique que la quantité de mouvement angulaire d’un électron dans un atome doit être égale à un multiple d’une constante connue sous le nom de constante de Planck réduite, . Nous pouvons écrire cela comme où est la quantité de mouvement angulaire de l’électron et (prononcé « h barre ») est la constante de Planck réduite. est simplement un entier positif, mais on lui donne un nom particulier : le nombre quantique principal. Le nombre quantique principal indique le niveau d’énergie d’un électron, où correspond à l’état d’énergie le plus bas possible (également appelé état fondamental).
La constante de Planck « réduite » est égale à la constante de Planck ordinaire, , divisée par , et elle a une valeur de . Il convient de noter que l’unité de peut aussi être exprimée en kg⋅m2⋅s−1, qui est l’unité habituelle que nous utiliserions pour représenter le moment angulaire.
L’équation facilite le calcul de la quantité de mouvement angulaire d’un électron dans un atome. Nous avons juste besoin de prendre le nombre quantique principal de l’électron (qui indique son niveau d’énergie) et de le multiplier par .
Définition : Le modèle de Bohr
Le modèle de Bohr est essentiellement résumé par ces trois « postulats » ou hypothèses :
- Les électrons dans les atomes suivent des orbites circulaires autour du noyau.
- Le moment angulaire d’un électron en orbite est quantisé : il ne peut être qu’un multiple entier de la constante de Planck réduite : En d’autres mots, les électrons ne peuvent orbiter autour du noyau qu’à des distances spécifiques où leur moment angulaire obéit à l’équation ci-dessus.
- Pour monter à une autre orbite plus éloignée du noyau (de plus haute énergie), un électron doit absorber de l’énergie sous la forme d’un photon. Inversement, un électron qui descend vers une orbite plus proche du noyau (de plus faible énergie) émettra de l’énergie sous la forme d’un photon.
Plus haut, nous avons évoqué le fait que le modèle de Bohr est seulement exact pour les atomes avec un seul électron. Comme l’atome à un seul électron le plus courant est l’atome d’hydrogène, on n’entend généralement parler du modèle de Bohr que dans le contexte des atomes d’hydrogène.
Exemple 1: Calculer la quantité du mouvement angulaire d’un électron dans un atome d’hydrogène
Selon le modèle atomique de Bohr, quelle est la quantité de mouvement d’un électron dans un atome d’hydrogène à l’état fondamental ? Utilisez une valeur de pour la constante de Planck réduite.
Réponse
Le modèle atomique de Bohr stipule que la quantité de mouvement angulaire d’un électron dans un atome est quantisé. Plus précisément, cela implique que ne peut être qu’un multiple entier de la constante de Planck réduite . Ceci est exprimé par l’équation où est un entier positif appelé nombre quantique principal.
Dans cette question, nous nous intéressons à un électron à l’état fondamental d’un atome d’hydrogène. On peut rappeler que l’état fondamental d’un atome est le niveau d’énergie le plus bas, et que le nombre quantique principal d’un électron à l’état fondamental prendra la valeur la plus basse possible, . Le fait qu’il s’agit d’un atome d’hydrogène est pertinent car le modèle de Bohr n’est généralement exact que pour les atomes à un seul électron, et les atomes d’hydrogène n’ont qu’un seul électron.
Maintenant que nous avons établi que l’électron dans cette question a , on peut simplement le substituer dans l’équation ci-dessus pour trouver la quantité de mouvement angulaire :
Notez que l’unité J⋅s est équivalente à des kg⋅m2⋅s−1, qui sont couramment utilisés pour la quantité de mouvement angulaire.
Exemple 2: Calculer le niveau d’énergie d’un électron à partir de sa quantité de mouvement angulaire
Un électron dans un atome d’hydrogène a une quantité de mouvement angulaire égale à . Selon le modèle atomique de Bohr, quel est le niveau d’énergie de l’électron ? Utilisez une valeur de pour la constante de Planck réduite.
Réponse
On cherche à déterminer le « niveau d’énergie » d’un électron dans un atome d’hydrogène. La clé pour répondre à cette question est de reconnaître que le niveau d’énergie d’un électron est désigné par son nombre quantique principal, .
Rappelons que, selon le modèle de Bohr, la quantité de mouvement angulaire d’un électron avec comme nombre quantique principal est donnée par où est la constante de Planck réduite. Nous voulons calculer , alors commençons par réarranger cette équation pour isoler :
Maintenant, nous pouvons substituer les valeurs de et données dans la question :
En d’autres mots, l’électron est dans le troisième niveau d’énergie de l’atome d’hydrogène.
La prise en compte des forces électrostatiques dans un atome d’hydrogène permet d’obtenir une équation utile à partir du modèle de Bohr : elle exprime le rayon orbital de l’électron dans un atome d’hydrogène.
Équation : Le rayon orbital d’un électron dans un atome d’hydrogène selon le modèle de Bohr
où
- est le rayon orbital d’un électron avec comme nombre quantique principal ;
- est la permittivité du vide, égale à ;
- est la constante de Planck réduite, égale à ;
- est la masse d’un électron, égale à ;
- est la charge d’un électron, égale à .
Comme on peut le voir, cette équation contient beaucoup de grandeurs différentes ! Cependant, la plupart d’entre elles ne sont que des constantes. L’équation ne contient en réalité que deux variables : le rayon orbital et le nombre quantique principal .
Si l’on factorise les constantes dans l’équation on peut voir que est proportionnelle à .
Parce que la plus petite valeur possible de est 1, le plus petit rayon atomique permis par le modèle de Bohr est de
On donne à ce rayon « le plus petit possible » un nom particulier : le rayon de Bohr. Nous représentons le rayon de Bohr avec le symbole :
est un moyen pratique de regrouper toutes les constantes de notre équation pour , ce qui nous permet d’exprimer l’équation comme suit :
Les deux équations que nous avons examinées peuvent nous aider à construire une image du modèle de Bohr. Les électrons de basse énergie (avec de faibles valeurs de ) orbitent plus près du noyau que les électrons de haute énergie (avec des valeurs élevées de ) qui ont des orbites relativement grandes.
Exemple 3: Calculer le rayon orbital d’un électron à l’aide du modèle de Bohr
Utilisez la formule , où est le rayon orbital d’un électron au niveau d’énergie d’un atome d’hydrogène, est la permittivité du vide, est la constante de Planck réduite, est la masse de l’électron, et est la charge de l’électron, pour calculer le rayon orbital d’un électron qui est au niveau d’énergie d’un atome d’hydrogène. Utilisez une valeur de pour la permittivité du vide, pour la constante de Planck réduite, pour la masse au repos d’un électron, et pour la charge d’un électron. Donnez votre réponse au centième près.
Réponse
La formule donnée est dérivée du modèle atomique de Bohr, et décrit le rayon orbital d’un électron au niveau d’énergie d’un atome d’hydrogène. En d’autres mots, il nous indique la distance d’un électron au noyau d’un atome d’hydrogène en fonction de son niveau d’énergie.
Dans cette question, on nous donne toutes les grandeurs dont nous avons besoin ; il suffit de les substituer dans la formule : ou, de manière équivalente, . En arrondissant ce chiffre au centième près, on obtient une réponse finale de .
Exemple 4: Calculer le rayon orbital d’un électron à partir du rayon de Bohr
Utilisez la formule , où est le rayon orbital d’un électron au niveau d’énergie d’un atome d’hydrogène et est le rayon de Bohr, pour calculer le rayon orbital d’un électron qui est au niveau d’énergie d’un atome d’hydrogène. Utilisez une valeur de pour le rayon de Bohr. Donnez votre réponse à trois décimales près.
Réponse
La formule qui nous est donnée dans cette question est dérivée du modèle de Bohr. Elle exprime le rayon orbital d’un électron au niveau d’énergie d’un atome d’hydrogène en fonction de deux grandeurs : et .
est une constante appelée le rayon de Bohr. Elle est égale au rayon orbital d’un électron dans l’état d’énergie le plus bas d’un atome d’hydrogène, comme prédit par le modèle de Bohr. On nous dit dans la question d’utiliser une valeur de pour le rayon de Bohr.
est le nombre quantique principal de l’électron. C’est un nombre qui désigne le niveau d’énergie d’un électron. Dans ce cas, nous considérons un électron pour lequel .
On peut trouver la réponse à cette question simplement en substituant et dans la formule suivante : ou, de manière équivalente, 0,4761 nm. Arrondir à trois décimales nous donne une réponse finale de 0,476 nm.
Points clés
- Le modèle de Bohr indique que les électrons d’un atome suivent des orbites circulaires autour du noyau.
- Selon le modèle de Bohr, la quantité de mouvement angulaire des électrons est quantisée. Cela signifie que les orbites des électrons ne sont possibles que lorsque la quantité de mouvement angulaire d’un électron en orbite est un multiple entier de la constante de Planck réduite : Dans cette équation, est le nombre quantique principal : un entier positif désignant le niveau d’énergie de l’électron (où correspond à l’état d’énergie la plus basse).
- Dans le modèle de Bohr, le rayon orbital d’un électron au niveau d’énergie est donnée par où est la permittivité du vide, est la masse d’un électron, et est la charge d’un électron.
- Cette équation peut aussi être exprimée sous la forme où est le rayon de Bohr. Le rayon de Bohr est le plus petit rayon orbital selon le modèle de Bohr, avec une valeur de .
