نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مجال ومدى الدالة من تمثيلها البياني. أولًا، سنفكر في تعريف المجال والمدى. إذا افترضنا أن هذه الآلة تمثل آلة لدالة ما، فسيكون المجال هو القيم التي نبدأ بها. أي إن المجال هو المجموعة الكاملة من القيم الممكنة، وهذه القيم مستقلة. إنها قيمة المتغير المستقل. وعلى شبكة الإحداثيات القياسية، ستكون هذه هي قيم ﺱ. يمثل المحور ﺱ المتغيرات المستقلة. أما المدى، فهو المجموعة الكاملة من القيم الناتجة الممكنة. أي إنه المتغير التابع. وعلى الشبكة الإحداثية القياسية، تكون هذه قيم ﺹ. لأن قيم ﺹ هي القيم المخرجة لهذه الدالة. إذن قيم ﺱ هي القيم المدخلة، وقيم ﺹ هي القيم المخرجة.
لنتعرف على ذلك بشكل أفضل، سنبدأ بتناول بعض التمثيلات البيانية وبعض المسائل.
مجال الدالة ﺩﺱ هو (فراغ).
الدالة ﺩﺱ ممثلة هنا بهذه النقاط الخمس. في البداية، نحن نتذكر أن المجال هو مجموعة كل قيم ﺱ الممكنة للدالة. كما نعرف أن المحور ﺱ على شبكة الإحداثيات هو المحور الأفقي، وهو ما يعني أنه يمكن إيجاد قيم ﺱ لهذه الدالة بالنظر إلى موضع هذه النقاط أفقيًا. في أقصى اليسار، لدينا نقطة عند سالب سبعة. وبالاتجاه نحو اليمين، لدينا نقطة عند سالب ستة، ثم سالب خمسة، ثم سالب أربعة، ثم سالب ثلاثة.
من المهم ملاحظة أن هذه النقاط غير متصلة بخط. وبذلك، فإننا نعلم أنها ليست دالة متصلة، وعليه سيكون مجالها هو مجموعة قيم ﺱ الممكنة. باستخدام رمز المجموعة، سيكون المجال كما يلي: سالب سبعة، سالب ستة، سالب خمسة، سالب أربعة، سالب ثلاثة.
يمكننا التفكير في المدى أيضًا إذ أردنا ذلك. وسيكون المدى هو قيم ﺹ الممكنة لهذه الدالة. أي المسافة التي تبعدها النقاط بالأعلى أو الأسفل على المحور الرأسي. في هذه الدالة، قيم ﺹ لدينا هي: واحد، واثنان، وثلاثة، وأربعة، وخمسة. وباستخدام رمز المجموعة، سيكون المدى على هذا النحو: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة.
وبما أن المطلوب في السؤال هو المجال فقط، فإن مجال ﺩﺱ هنا هو المجموعة: سالب سبعة، سالب ستة، سالب خمسة، سالب أربعة، سالب ثلاثة.
لنلق نظرة على مثال آخر.
عين مجال ومدى الدالة ﺩﺱ تساوي سالب أربعة.
في الصورة، لدينا التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي سالب أربعة. لإيجاد المجال والمدى، علينا أن نتذكر أن المجال تمثله قيم ﺱ، والمدى تمثله قيم ﺹ في التمثيل البياني. كما نتذكر أيضًا أن المجال هو المتغير المستقل. وهو المتغير الذي نعوض بقيمته في الدالة. ونريد معرفة مجموعة القيم التي يتخذها ﺱ.
في هذا التمثيل البياني، قد يبدو أن قيم ﺱ تمتد من سالب أربعة إلى موجب أربعة فقط. لكننا نعلم أن هذه الدالة تستمر في كلا الاتجاهين. باتجاه اليمين ستستمر قيم ﺱ حتى موجب ∞، وباتجاه اليسار ستستمر حتى سالب ∞. حسنًا، كيف يمكننا كتابة ذلك للتعبير عن المجال؟
يمكننا استخدام الرمز ﺡ. يمثل هذا الرمز جميع الأعداد الحقيقية. إذن، مجال ﺱ يمكن أن يكون أي عدد حقيقي.
ماذا عن المدى؟ يختلف المدى هنا بعض الشيء. المدى هو قيم ﺹ؛ أي المسافة لأعلى أو لأسفل بعيدًا عن الصفر. لكل قيمة من قيم ﺱ في هذه الدالة، ﺹ سيساوي دائمًا سالب أربعة. أي إن ﺹ لا يتغير. وهذا يعني أن النتيجة الوحيدة، أي القيمة المخرجة الوحيدة لهذه الدالة، هي سالب أربعة. إذن، مدى الدالة هو المجموعة سالب أربعة. ومن ثم، يمكننا القول إنه بالنسبة للدالة ﺩﺱ تساوي سالب أربعة، فإن المجال هو كل الأعداد الحقيقية، والمدى هو المجموعة سالب أربعة.
في المثال التالي، لدينا التمثيل البياني لدالة تكعيبية وعلينا إيجاد مجالها ومداها.
عين مجال ومدى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص واحد الكل تكعيب في مجموعة الأعداد الحقيقية.
إننا لدينا بالفعل التمثيل البياني لهذه الدالة؛ ﺱ ناقص واحد الكل تكعيب. والآن، علينا أن نفكر في معنى المجال والمدى. عندما يكون لدينا تمثيل بياني، يمثل المجال بمجموعة قيم ﺱ الممكنة، ويمثل المدى بمجموعة قيم ﺹ الممكنة. من المهم أن نعرف أنه عند وجود هذا النوع من التمثيلات البيانية، فإن الدالة تستمر في كلا الاتجاهين. على الرغم من أننا لا نرى سوى جزء من هذه الدالة، أي من ﺱ يساوي سالب اثنين إلى ﺱ يساوي موجب ثلاثة، لكننا نعرف أنها تستمر في كلا الاتجاهين. وينطبق الأمر نفسه على قيم ﺹ. يمكننا ملاحظة أن قيم ﺹ تمتد لأعلى حتى موجب ١٠، ولأسفل حتى سالب ١٠.
ومع ذلك، تستمر هذه الدالة خارج هذا الإطار المحدد في التمثيل البياني. في هذه الحالة، ليست لدينا حدود للمجال أو المدى. إذ يمكن للمجال أن يكون جميع الأعداد الحقيقية، ويمكن للمدى أن يكون جميع الأعداد الحقيقية. ومن الممكن أيضًا أن نعبر عن ذلك باستخدام رمز الفترة بدلًا من رمز المجموعة. أي إنه يمكن كتابة المجال في صورة الفترة من سالب ∞ إلى ∞. وفي هذه الحالة سينطبق الأمر نفسه على المدى، فسيكون في صورة مجموعة الأعداد الحقيقية أو الفترة من سالب ∞ إلى موجب ∞.
عند استخدام رمز الفترة، تجدر الإشارة إلى أننا نستخدم الأقواس الدائرية إذا كانت الفترة لا تتضمن طرف الفترة. إذن، ما تشير إليه هذه الأقواس هو أن القيم تتزايد حتى ∞، ولكن دون أن تتضمن ∞.
في المثال التالي، سنتناول تعيين مجال الدالة المتعددة التعريف ومداها.
أوجد مجال الدالة الموضحة.
نحن نعلم أن مجال هذه الدالة سيكون مجموعة كل قيم ﺱ الممكنة. وعلى شبكة الإحداثيات، هذا هو المحور ﺱ؛ أي المحور الأفقي. ويمكننا ملاحظة أن القيم المحددة تبدأ من سالب سبعة وصولًا إلى موجب سبعة. لكننا يجب أن ندرك أن السهمين على جانبي هذا التمثيل البياني يشيران إلى أن هذه الدالة مستمرة. من ناحية اليسار، يمكننا القول إن المنحنى سيستمر حتى سالب ∞، ومن ناحية اليمين سيستمر إلى موجب ∞.
لكن دعونا نفكر جيدًا فيما يحدث عند الصفر. عند ﺱ يساوي صفرًا، هل سيكون لهذه الدالة ناتج؟ نحن نعرف أن لها ناتجًا لأن النقطة عند صفر، أربعة ملونة. إذن الدالة معرفة عند النقطة صفر، أربعة، لكن النقطة عند صفر، سالب أربعة غير ملونة، ما يعني أن الدالة غير معرفة عند تلك النقطة. بما أن لدينا ناتجًا عند صفر، يمكننا التأكيد على أن المجال عبارة عن جميع الأعداد الحقيقية.
لم يطلب منا هذا السؤال إيجاد المدى. ولكن إذا أردنا إيجاد المدى أيضًا، فسيكون هو القيم المخرجة؛ أي مجموعة قيم ﺹ الممكنة. ويمكننا ملاحظة أن هناك قيمتين ممكنتين: قيمة واحدة عند أربعة، والأخرى عند سالب أربعة. باستخدام رمز المجموعة، يمكننا كتابة أن المدى يساوي سالب أربعة وأربعة. وبما أن السؤال لم يطلب منا سوى تعيين المجال، فسنقول ببساطة إن المجال هو جميع الأعداد الحقيقية.
في المثال الأخير، سنلقي نظرة على تمثيل بياني لدالة نعرف حدود مجالها ومداها.
أوجد مجال الدالة ﺩﺱ تساوي سالب واحد على ﺱ ناقص خمسة ومداها.
لدينا هنا تمثيل بياني لهذه الدالة. ويمكننا استخدام هذا التمثيل البياني لتعيين مجال الدالة ومداها. المجال هو مجموعة كل قيم ﺱ الممكنة. وفي هذا التمثيل البياني، يمكننا استخدام المحور ﺱ لتعيينه. والمدى هو مجموعة كل قيم ﺹ الممكنة. سنستخدم المحور ﺹ لتعيينه.
ولكن قبل أن نفعل ذلك، دعونا ننظر جيدًا إلى سلوك الدالة في التمثيل البياني الموجود أمامنا. يمكننا ملاحظة أنه بشكل ما يتكون من جزأين: أحدهما فوق المحور ﺱ، والآخر أسفل المحور ﺱ. ثم لدينا هذا الخط المتقطع. عندما يكون لدينا خط متقطع كهذا على التمثيل البياني، فإنه يمثل خط تقارب للدالة. خط التقارب هو الخط الذي يقترب منه المنحنى عندما يتجه نحو ∞. والمنحنى لن يقطع خط التقارب أبدًا. ويقع خط التقارب عند ﺱ يساوي خمسة. وهو ما يعني أنه يمكننا بالتأكيد أن نقول إن المجال لا يتضمن القيمة ﺱ تساوي خمسة.
لكن إذا نظرنا إلى باقي الدالة، فسنجد أن بعض قيم ﺱ تمتد في الاتجاهين الأيسر والأيمن. وبذلك، يمكن أن يكون ﺱ أي قيمة ما عدا موجب خمسة، ما يعني أن المجال هو جميع الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة خمسة. حسنًا، إذا أعدنا التفكير في المدى، فهذا يعني أننا سنعيد التفكير في السلوك الرأسي للمنحنى الموجود لدينا. ومرة أخرى، يمكننا ملاحظة وجود جزء واحد من هذا المنحنى فوق المحور ﺱ، وجزء واحد أسفله. بالرغم من عدم وجود خط متقطع آخر، لكن المحور ﺱ يمثل خط تقارب آخر لهذه الدالة. تقترب قيمة ﺹ لهذه الدالة من الصفر، لكنها لا تساوي صفرًا أبدًا. وينطبق هذا على كل من الطرفين الأيسر والأيمن في هذه الدالة. ويعني هذا أن ﺹ يمكن أن يساوي أي قيمة ما عدا صفرًا.
إذن بالمثل نقول إن المدى سيكون جميع الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة صفر. تمثل المجموعة خمسة في المجال والمجموعة صفر في المدى خطي التقارب الرأسي والأفقي لهذه الدالة، وبهذا نكون قد أوجدنا المجال والمدى بشكل صحيح.
قبل أن ننتهي، دعونا نستعرض بعض النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. مجال الدالة هو مجموعة كل القيم الممكنة للمتغير المستقل. مدى الدالة هو مجموعة كل القيم الناتجة الممكنة. وفي حالة معرفة التمثيل البياني للدالة، يكون المجال هو جميع قيم ﺱ الممكنة، والمدى هو جميع قيم ﺹ الممكنة.
