نسخة الفيديو النصية
أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لأربعة ﺱ تربيع مقسومًا على جا تربيع خمسة ﺱ.
نلاحظ أن السؤال يطلب منا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لخارج قسمة دالتين. وهو هنا خارج قسمة دالة كثيرة حدود ومربع دالة مثلثية. وأول ما علينا التفكير فيه عندما يطلب منا إيجاد قيمة نهاية بهذه الصورة أن نتساءل: «هل يمكننا استخدام التعويض المباشر»؟
في هذه الحالة، يمكننا أن نحاول إيجاد قيمة ذلك باستخدام التعويض المباشر؛ إذ إنه يمكننا إيجاد قيمة الدوال الكثيرة الحدود ومربعات الدوال المثلثية عن طريق التعويض المباشر. بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا، نحصل على أربعة في صفر تربيع مقسومًا على جا تربيع لخمسة في صفر. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنحصل على الصيغة غير المعينة صفر مقسومًا على صفر. وهذا لا يعني أنه لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية.
كل ما نستنتجه من ذلك هو أنه لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام هذه الطريقة. لذا، علينا التفكير في طريقة مختلفة لمحاولة إيجاد قيمة هذه النهاية. على سبيل المثال، يمكننا محاولة إعادة كتابة هذه النهاية بدلالة النهايات التي نعرف كيفية إيجاد قيمها. فعلى سبيل المثال، نحن نعلم النتيجة القياسية لنهاية الدالة المثلثية التي تنص على أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ مقسومًا على ﺱ تساوي واحدًا. وهذه النهاية مشابهة للنهاية المعطاة في السؤال.
لكن في هذه المسألة، لدينا ﺱ في البسط ودالة الجيب في المقام. ولحسن الحظ، نعرف نتيجة أخرى عن النهايات، التي ستمكننا من أخذ مقلوب الدالة داخل النهاية. وتنص على أنه إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لدالة ما ﺩ ﺱ تساوي ﻝ، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لمقلوب ﺩ ﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على ﻝ. وبالطبع، يكون ذلك بشرط أن تكون قيمة ﻝ لا تساوي صفرًا.
نريد تطبيق ذلك على النتيجة القياسية لنهاية الدالة المثلثية، التي تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ مقسومًا على ﺱ تساوي واحدًا. لذا، سنجعل ﺩ ﺱ تساوي جا ﺱ مقسومًا على ﺱ وﻝ يساوي واحدًا. وبما أن قيمة ﻝ لا تساوي صفرًا، يمكننا إذن استخدام حقيقة أن نهاية المقلوب تساوي مقلوب النهاية. وعليه، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لمقلوب جا ﺱ مقسومًا على ﺱ تساوي مقلوب واحد.
وبالطبع، مقلوب واحد يساوي واحدًا. ويمكننا أن نكتب مقلوب جا ﺱ مقسومًا على ﺱ على الصورة ﺱ مقسومًا على جا ﺱ. وبذلك نكون قد أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺱ مقسومًا على جا ﺱ تساوي واحدًا.
لنر كيف يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة النهاية المعطاة في السؤال. في البداية، نضع الثابت أربعة خارج النهاية. بعد ذلك، نلاحظ أننا نحسب خارج قسمة مربعين. إذن، باستخدام قوانين الأسس، يمكننا بدلًا من ذلك تربيع خارج القسمة بأكمله. الآن، يمكننا إعادة كتابة ذلك باستخدام قاعدة القوة للنهايات. وهي تنص على أنه بالنسبة لأي عدد صحيح موجب ﻥ، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺭ ﺱ أس ﻥ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺭ ﺱ الكل أس ﻥ. بعبارة أخرى، فإن نهاية قوة ما تساوي قوة هذه النهاية. وعليه، نحصل هنا على أربعة مضروبًا في مربع النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺱ مقسومًا على جا خمسة ﺱ.
علينا الآن إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام النهاية التي توصلنا إليها سابقًا. لكن يمكننا ملاحظة أن لدينا جا خمسة ﺱ في المقام. أما النهاية التي توصلنا إليها فتحتوي على جا ﺱ فقط في المقام. وسنحل هذا بأن نعوض عن جميع قيم ﺱ في قاعدة النهاية هذه بخمسة ﺱ. ومن ثم، نحصل على النهاية عندما يقترب خمسة ﺱ من صفر لخمسة ﺱ مقسومًا على جا خمسة ﺱ تساوي واحدًا.
علينا أن ننتبه عند هذه النقطة لأن لدينا الآن النهاية عندما يقترب خمسة ﺱ من صفر وليس عندما يقترب ﺱ من صفر. ولكن عندما يقترب خمسة ﺱ يقترب أكثر فأكثر من صفر، تصبح قيمة ﺱ أصغر فأصغر. في الواقع، يقترب ﺱ أكثر فأكثر من صفر. لذا يمكننا إعادة كتابة هذه النهاية بحيث تكون عندما يقترب ﺱ من صفر.
بعد ذلك، يمكننا إخراج الثابت خمسة خارج النهاية. ثم، يمكننا قسمة الطرفين على هذا الثابت خمسة. وهذا يوضح لنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺱ مقسومًا على جا خمسة ﺱ تساوي خمسًا. إذن، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية. إنها تساوي خمسًا. وعليه، فإن هذا يعطينا أربعة مضروبًا في خمس تربيع. ويمكننا حساب هذا المقدار لنحصل على أربعة مقسومًا على ٢٥.
وبذلك نكون قد أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لأربعة ﺱ تربيع مقسومًا على جا تربيع خمسة ﺱ تساوي أربعة مقسومًا على ٢٥.
