نسخة الفيديو النصية
الشكل المعطى يمثل مكعبًا حجمه ٢٧ وحدة مكعبة. أوجد، على الصورة البارامترية، معادلة الخط المستقيم ﺭﺏ. أ: ﺱ يساوي ثلاثة ﻙ، وﺹ يساوي سالب ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي ثلاثة زائد ثلاثة ﻙ. ب: ﺱ يساوي ثلاثة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي ثلاثة زائد ثلاثة ﻙ. ج: ﺱ يساوي ثلاثة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي ثلاثة ناقص ثلاثة ﻙ. د: ﺱ يساوي ثلاثة ناقص ثلاثة ﻙ، وﺹ يساوي سالب ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي ثلاثة ﻙ. هـ: ﺱ يساوي ثلاثة ناقص ثلاثة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي ثلاثة ﻙ.
سنبدأ بالتفكير في الشكل لدينا، والذي يوضح مكعبًا حجمه ٢٧ وحدة مكعبة. حجم أي مكعب يساوي طول ضلعه تكعيب. هذا يعني أنه في هذا السؤال، ﻝ تكعيب يساوي ٢٧ وحدة مكعبة. ومن ثم، بحساب الجذر التكعيبي لكل من طرفي هذه المعادلة، نجد أن ﻝ يساوي ثلاثة. وبهذا، يكون طول الضلع في المكعب بالشكل لدينا يساوي ثلاث وحدات. مطلوب منا إيجاد معادلة الخط المستقيم ﺭﺏ على الصورة البارامترية. لذا، سنوجد في البداية إحداثيات النقطتين ﺭ وﺏ.
تقع النقطة ﺭ على المحور ﻉ. هذا يعني أن قيمة كل من الإحداثيين ﺱ وﺹ تساوي صفرًا. وبما أن طول ضلع المكعب يساوي ثلاثة، فإن إحداثيات النقطة ﺭ هي صفر، صفر، ثلاثة. تبعد النقطة ﺏ عن الاتجاه الموجب للمحور ﺱ بمقدار ثلاث وحدات. وتبعد عن الاتجاه الموجب للمحور ﺹ بمقدار ثلاث وحدات أيضًا. وبما أنها تقع في المستوى ﺱﺹ، فإن الإحداثي ﻉ يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن إحداثيات النقطة ﺏ هي ثلاثة، ثلاثة، صفر.
يمكننا بعد ذلك استرجاع أن المعادلات البارامترية لأي خط مستقيم هي مجموعة غير وحيدة مكونة من ثلاث معادلات على الصورة ﺱ يساوي ﺱ واحد زائد ﻙﺃ، وﺹ يساوي ﺹ واحد زائد ﻙﺏ، وﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﻙﺟ؛ حيث ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ صفر هي إحداثيات نقطة تقع على الخط المستقيم. والمتجه ﺃ، ﺏ، ﺟ، هو متجه اتجاه الخط المستقيم. وﻙ هو عدد حقيقي يعرف باسم البارامتر، ويتغير من سالب ∞ إلى ∞. يمكننا اختيار إما النقطة ﺏ وإما النقطة ﺭ لتكون لها الإحداثيات ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد. وعلى الرغم من أننا سنحصل في الحالتين على إجابة صحيحة، فإن علينا أن نختار ما يتوافق مع أحد الحلول المعطاة.
سنفترض إذن أن النقطة ﺭ لها الإحداثيات ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد. وعلينا بعد ذلك حساب متجه اتجاه الخط المستقيم ﺭﺏ. وإحدى طرق فعل ذلك هي طرح متجه الموضع لإحدى النقطتين من متجه موضع الأخرى. ونستطيع فعل ذلك بأي ترتيب. لكننا سنطرح هنا المتجه صفر، صفر، ثلاثة من المتجه ثلاثة، ثلاثة، صفر. وبهذا، نجد أن المتجه ثلاثة، ثلاثة، سالب ثلاثة هو متجه اتجاه الخط المستقيم ﺭﺏ.
سنجعل هنا المركبات الثلاثة هي ﺃ وﺏ وﺟ، على التوالي. وبالتعويض بقيمتي ﺱ واحد وﺃ في الصورة العامة، نجد أن ﺱ يساوي صفرًا زائد ثلاثة ﻙ. وهذا يمكن تبسيطه إلى ثلاثة ﻙ. ولدينا أيضًا ﺹ يساوي ثلاثة ﻙ. وبالتعويض بقيمتي ﻉ واحد وﺟ، نجد أن ﻉ يساوي ثلاثة ناقص ثلاثة ﻙ. مجموعة المعادلات هذه تتوافق مع الخيار ج. وكما ذكرنا من قبل، كان بإمكاننا استخدام النقطة ﺏ أو أي نقطة أخرى تقع على المستقيم ﺭﺏ. وكان بإمكاننا أيضًا استخدام متجه اتجاه آخر، على سبيل المثال، سالب ثلاثة، سالب ثلاثة، ثلاثة. لكن من بين الخيارات المعطاة في هذا السؤال، فإن مجموعة المعادلات البارامترية للخط المستقيم ﺭﺏ هي ﺱ يساوي ثلاثة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي ثلاثة ناقص ثلاثة ﻙ.
