نسخة الفيديو النصية
أي من الآتي يمثل مجال الدالة ومداها في التمثيل البياني الموضح؟ الخيار أ: المجال هو الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من سالب ∞ إلى واحد، والمدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية. الخيار ب: المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية، والمدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية. الخيار ج: المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية، والمدى هو الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى واحد. الخيار د: المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية، والمدى هو الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من سالب ∞ إلى واحد. الخيار هـ: المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية، والمدى هو الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من واحد إلى ∞.
في هذا السؤال مطلوب منا إيجاد مجال دالة ومداها باستخدام تمثيلها البياني المعطى. لفعل ذلك دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بمجال الدالة ومداها. لعلنا نتذكر أن مجال الدالة هو مجموعة كل القيم المدخلة للدالة، وأن مدى الدالة هو مجموعة كل القيم المخرجة للدالة بمعلومية مجالها. يمكننا إيجاد مجال أي دالة ومداها من تمثيلها البياني بتذكر كيفية تمثيل الدالة بيانيًّا. نحن نعلم أن قيمة الإحداثي ﺱ لأي نقطة على التمثيل البياني للدالة تساوي القيمة المدخلة للدالة، في حين تكون قيمة الإحداثي ﺹ لهذه النقطة هي القيمة المخرجة للدالة.
هذا يعني أن مجال الدالة هو مجموعة كل قيم الإحداثي ﺱ للنقاط التي تقع على تمثيلها البياني، ومدى الدالة هو مجموعة كل قيم الإحداثي ﺹ للنقاط التي تقع على التمثيل البياني للدالة. حسنًا دعونا نبدأ بإيجاد مجال الدالة من تمثيلها البياني. إننا نريد تحديد جميع القيم المدخلة الممكنة للدالة، ويمكننا فعل ذلك بالاستعانة بالخطوط الرأسية. على سبيل المثال نلاحظ أن الخط الرأسي ﺱ يساوي أربعة يتقاطع مع التمثيل البياني للدالة. هذا يعني أن أربعة هو أحد القيم المدخلة للدالة. وعلى وجه التحديد، تكون القيمة المخرجة للدالة عند ﺱ يساوي أربعة هي قيمة الإحداثي ﺹ لهذه النقطة؛ وهي سالب سبعة.
إذا واصلنا القيام بهذه العملية للحصول على المزيد من القيم المدخلة، فسنلاحظ أنه من الواضح أن كل قيمة ممكنة لـ ﺱ هي قيمة مدخلة للدالة. على سبيل المثال، يتقاطع الخط الرأسي ﺱ يساوي سالب ستة مع التمثيل البياني. لإثبات صحة ذلك دعونا نسترجع أن التمثيل البياني سيمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. ويمكننا تمثيل ذلك بأسهم على التمثيل البياني. حسنًا بما أن أي خط رأسي يتقاطع مع التمثيل البياني، فإن أي قيمة حقيقية لـ ﺱ هي قيمة مدخلة ممكنة للدالة. ومن ثم فإن مجال الدالة في التمثيل البياني هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية. يمكننا في ضوء هذه المعلومات استبعاد الخيار أ؛ وذلك لأنه لا يتضمن جميع الأعداد الحقيقية في المجال.
دعونا الآن نتناول مدى الدالة؛ أي مجموعة كل القيم المخرجة للدالة. يمكننا إيجاد القيم المخرجة الممكنة للدالة بالنظر إلى قيم الإحداثي ﺹ للنقاط على التمثيل البياني. على سبيل المثال، نعلم أن سالب سبعة هو قيمة مخرجة ممكنة للدالة؛ وذلك لأن الخط الأفقي ﺹ يساوي سالب سبعة يتقاطع مع التمثيل البياني. وعليه فإن مدى الدالة هو مجموعة كل قيم الإحداثي ﺹ للنقاط التي تقع على التمثيل البياني للدالة. ومن ثم يمكننا تحديد مدى الدالة من تمثيلها البياني بالنظر إلى الخطوط الأفقية التي تتقاطع مع التمثيل البياني.
دعونا الآن ننظر إلى الخطوط الأفقية التي تتقاطع مع التمثيل البياني. نلاحظ هنا أن أعلى خط أفقي يتقاطع مع التمثيل البياني يقع عند ﺹ يساوي واحدًا. حسنًا هناك أمران علينا ملاحظتهما بشأن هذا الموضوع. أولًا سنطلق على الدالة لدينا ﺩ، ويمكننا هنا قول إن ﺩ لصفر تساوي واحدًا؛ أي إن القيمة واحد تقع في مدى ﺩ. ثانيًا لا يوجد خط أفقي أعلى العدد واحد يتقاطع مع التمثيل البياني؛ لذا لا توجد قيمة أعلى من واحد تقع في مدى الدالة. يمكننا أيضًا ملاحظة أن أي خط أفقي أسفل ﺹ يساوي واحدًا سيتقاطع مع التمثيل البياني. إذن جميع القيم الأصغر من أو التي تساوي واحدًا تقع في مدى هذه الدالة.
حسنًا إننا نريد كتابة ذلك في صورة مجموعة. ولفعل ذلك سنستخدم ترميز الفترة. نريد تضمين جميع القيم الأصغر من أو تساوي واحدًا. ونفعل ذلك باستخدام قوس دائري عند سالب ∞ لتوضيح أن سالب ∞ غير متضمن، وقوس معقوف عند واحد لتوضيح أن واحدًا هو أحد عناصر المدى. نلاحظ أن هذا يتوافق مع الخيار د. إذن مجال الدالة المعطاة في التمثيل البياني هو مجموعة كل الأعداد الحقيقية، ومدى الدالة المعطاة في التمثيل البياني هو الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من سالب ∞ إلى واحد.
