نسخة الفيديو النصية
دور حبل منتظم أفقيًّا حول أحد طرفيه، كما هو موضح في الشكل. يعود طرف الحبل المقابل للطرف الثابت إلى موضعه كل 0.65 ثانية. يتحرك الطرف الحر من الحبل بسرعة ثابتة من النقطة A إلى النقطة B. نسبة مقدار العجلة المركزية عند النقطة A إلى مقدار العجلة المركزية عند النقطة D هي R واحد. نسبة مقدار العجلة المركزية عند النقطة A إلى مقدار العجلة المركزية عند النقطة B هي R اثنان. ما قيمة R واحد مقسومًا على R اثنين؟
يشير هذا السؤال إلى مجموعة من النقاط على جسم يتحرك في مسار دائري. هذه النقاط هي النقطتان A وB، والنقطتان A وD. تقع النقطتان A وB على المسار الدائري نفسه، في حين تقع النقطتان A وD على مسارين مختلفين. عندما يكون جزء من الحبل عند أي نقطة من هذه النقاط، فإنه يتحرك بعجلة مركزية في اتجاه مركز الدائرة. نسبة العجلة المركزية للحبل عند النقطة A إلى العجلة المركزية للحبل عند النقطة D هي R واحد. وR اثنان هي نسبة العجلة المركزية عند النقطة A إلى العجلة المركزية عند النقطة B. ونريد إيجاد قيمة R واحد مقسومًا على R اثنين.
في البداية، دعونا نتذكر أنه يمكن التعبير عن العجلة المركزية بالمعادلة 𝑎 تساوي 𝑣 تربيع على 𝑟؛ حيث 𝑣 السرعة المماسية للجسم على مسافة 𝑟 من مركز القوس الدائري الذي يتحرك فيه الجسم. يمكننا أيضًا كتابة هذه المعادلة على الصورة 𝑎 تساوي ω تربيع في 𝑟؛ حيث ω هي السرعة الزاوية بوحدة الراديان لكل ثانية. عندما يدور الحبل في هذا المثال، فإنه يدور أسرع عند بعض النقاط من نقاط أخرى. لكن عند أي موضع معين ستكون السرعة الزاوية للحبل ثابتة عند جميع النقاط الواقعة على امتداد طوله. على سبيل المثال: السرعة الزاوية للحبل عند النقطة A تساوي سرعته الزاوية عند النقطة 𝐶.
علمنا من السؤال أن الطرف الحر للحبل يتحرك بسرعة ثابتة من النقطة A إلى النقطة B. هذا يعني أن السرعتين الزاويتين للحبل عند هاتين النقطتين، وسنطلق عليهما السرعتين ωA وωB، متساويتان. وبما أن النقطتين A وB تبعدان أيضًا المسافة نفسها عن الطرف الثابت من الحبل، فوفقًا للمعادلة السابقة، يمكننا القول إن العجلة المركزية للحبل عند النقطة A، التي سنسميها aA، تساوي العجلة المركزية للحبل عند النقطة B، التي سنسميها 𝑎B. هذا يعني أن R اثنين تساوي واحدًا.
دعونا نفكر الآن في النقطتين A وD. سنسمي المسافة من النقطة A إلى الطرف الثابت من الحبل rA وهي تساوي 0.22 متر، ونسمي المسافة من النقطة D إلى الطرف الثابت من الحبل rD. وهي تساوي 0.16 متر. علمنا من المعطيات أن الحبل يستغرق 0.65 ثانية لإتمام دورة كاملة. بمعلومية ذلك واسترجاع أن السرعة تساوي المسافة مقسومة على الزمن، يمكننا الحل لإيجاد السرعة المماسية للحبل عند النقطتين A وD. سنفرغ بعض المساحة على الشاشة، ثم نوضح أن السرعة المماسية للحبل عند النقطة A؛ أي 𝑣A، تساوي اثنين في 𝜋 في rA مقسومًا على 0.65 ثانية.
باسترجاع المعادلة الأولى للعجلة المركزية يمكننا القول إن العجلة المركزية للحبل عند النقطة A تساوي 𝑣A تربيع مقسومًا على 𝑟A. وبما أن 𝑣A تساوي اثنين في 𝜋 في 𝑟A مقسومًا على 0.65 ثانية، فسيحذف عامل واحد لـ 𝑟A في البسط مع عامل 𝑟A في المقام. وهكذا، نجد أن 𝑎A تساوي أربعة 𝜋 تربيع في 𝑟A مقسومًا على 0.65 ثانية تربيع. 𝑟A تساوي 0.22 متر، وعليه، فإن 𝑎A تساوي 20.556 إلى آخره مترًا لكل ثانية تربيع.
نحتفظ بهذه النتيجة جانبًا، وسنجري الآن عملية حسابية مشابهة لإيجاد 𝑎D. السرعة المماسية للحبل عند النقطة D؛ أي 𝑣D، تساوي اثنين في 𝜋 في 𝑟D مقسومًا على 0.65 ثانية. 𝑎D تساوي 𝑣D تربيع على 𝑟D. وبالتعويض عن 𝑣D، نجد مرة أخرى أن أحد عاملي المسافة القطرية في البسط يحذف مع عامل المسافة القطرية في المقام. هكذا، يصبح لدينا 𝑎D تساوي أربعة 𝜋 تربيع في 𝑟D مقسومًا على 0.65 ثانية تربيع. 𝑟D تساوي 0.16 متر. وبحساب ذلك، نجد أن 𝑎D تساوي 14.950 إلى آخره مترًا لكل ثانية تربيع.
والآن، بعد أن عرفنا قيمة كل من 𝑎A و𝑎D، يمكننا إيجاد النسبة بينهما. إنها تساوي 1.375 لأقرب ثلاث منازل عشرية. لاحظ هنا أن الوحدات حذفت من المقدار بالكامل. مطلوب منا في السؤال إيجاد نسبة R واحد إلى R اثنين. بما أن R اثنين تساوي واحدًا، فإن النسبة بينهما تساوي R واحدًا، أو 1.375. هذه هي نسبة العجلة المركزية للحبل عند النقطة A على العجلة المركزية للحبل عند النقطة D إلى العجلة المركزية للحبل عند النقطة A على العجلة المركزية للحبل عند النقطة B.
