فيديو الدرس: الانحراف المعياري للمتغير العشوائي المتقطع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب الانحراف المعياري للمتغيرات العشوائية المتقطعة.

الانحراف المعياري لمتغير عشوائي هو مقياس لانتشار التوزيع الاحتمالي. إذا كان لدينا متغير عشوائي ﺱ، فإنه يشار إلى الانحراف المعياري بـ 𝜎 أو 𝜎ﺱ. ومربعه، وهو ما يسمى تباين ﺱ، يعرف كما يلي: 𝜎 تربيع، يساوي توقع ﺱ ناقص توقع ﺱ الكل تربيع؛ حيث توقع ﺱ يشير إلى القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي ﺱ. ومن ثم، نحصل على الانحراف المعياري 𝜎 بأخذ الجذر التربيعي الموجب للتباين.

بالنظر إلى هذه الصيغة عن قرب، نجد أن تباين ﺱ هو قيمة متوسط المسافة المربعة لنقاط البيانات من القيمة المتوقعة. باختصار، يمثل الانحراف المعياري متوسط المسافة التي تبعدها نواتج المتغير العشوائي، في المتوسط، عن القيمة المتوقعة. ويمكن توضيح ذلك بيانيًّا. في الصورة الموضحة، التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي ﺱ معطى حيث توقع ﺱ يشير إلى القيمة المتوقعة أو المتوسط، و𝜎 يشير إلى الانحراف المعياري. هذه الصيغة صعبة في استخدامها عمليًّا، لذا نعرض بديلًا لها، سنراه بعد قليل. وبما أن هذه الصيغة البديلة أسهل في الاستخدام، سنستخدمها بدلًا من ذلك باعتبارها التعريف.

إذا كان لدينا متغير عشوائي ﺱ، فإن تباين ﺱ يعطى على الصورة: تباين ﺱ يساوي توقع ﺱ تربيع ناقص توقع ﺱ الكل تربيع؛ حيث توقع ﺱ هو القيمة المتوقعة أو المتوسط. وبذلك، يمكن حساب الانحراف المعياري 𝜎 أو 𝜎ﺱ عن طريق أخذ الجذر التربيعي لتباين ﺱ هذا. من ثم يمكن تلخيص عملية حساب الانحراف المعياري لمتغير عشوائي متقطع في أربع خطوات.

الخطوة الأولى هي حساب توقع ﺱ. لأي متغير عشوائي متقطع ﺱ، يأخذ القيم ﺱ واحد، وﺱ اثنين، وهكذا حتى ﺱﻥ، فإن القيمة المتوقعة تساوي ﺱ واحد مضروبًا في احتمال أن يكون ﺱ يساوي ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين مضروبًا في احتمال أن يكون ﺱ يساوي ﺱ اثنين وهكذا حتى ﺱﻥ مضروبًا في احتمال أن يكون ﺱ يساوي ﺱﻥ. خطوتنا الثانية هي حساب توقع ﺱ تربيع. و ويمكن حساب ذلك بطريقة مشابهة لتلك التي اتبعناها مع توقع ﺱ، باستثناء أننا سنستخدم ﺱ واحد تربيع، وﺱ اثنين تربيع، وهكذا. نقوم بتربيع قيم ﺱ المفردة قبل ضربها في الاحتمالات المناظرة.

الخطوة الثالثة هي حساب تباين ﺱ. نفعل ذلك باستخدام الصيغة أعلاه. تباين ﺱ يساوي توقع ﺱ تربيع ناقص توقع ﺱ الكل تربيع. وأخيرًا، يمكننا حساب الانحراف المعياري 𝜎 عن طريق أخذ الجذر التربيعي لتباين ﺱ. والآن سنتناول بعض الأمثلة التي تتطلب اتباع هذه الخطوات الأربع في سياقات مختلفة.

الدالة في الجدول الموضح دالة احتمال للمتغير العشوائي المتقطع‎ ﺱ، أوجد الانحراف المعياري للمتغير ﺱ. قرب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

للإجابة عن هذا السؤال، نتذكر العملية ذات الخطوات الأربع المستخدمة للحصول على الانحراف المعياري 𝜎. أولًا، نحسب المتوسط أو القيمة المتوقعة لـ ﺱ. ثانيًا، نحسب توقع ﺱ تربيع. ثالثًا، نحسب تباين ﺱ. هذا يساوي توقع ﺱ تربيع ناقص توقع ﺱ الكل تربيع. الخطوة الرابعة والأخيرة هي حساب الانحراف المعياري 𝜎، ونذكر أنه يساوي الجذر التربيعي لتباين ﺱ.

لنبدأ بتذكر كيف نحسب توقع ﺱ. نفعل ذلك بضرب كل قيمة لـ ﺱ في احتمالها المناظر، ثم إيجاد مجموع هذه القيم. أي نضرب سالب خمسة في ثلث. بعد ذلك، نجمع حاصل ضرب سالب أربعة وثمن، وسالب ثلاثة وربع، وأخيرًا سالب واحد وسبعة على ٢٤. ورغم أنه يمكننا إيجاد قيمة كل حاصل ضرب من هذه الحواصل الأربعة على حدة، فإن كتابة العملية الحسابية بأكملها على الآلة الحاسبة يعطينا سالب ٧٧ على ٢٤.

خطوتنا الثانية هي حساب توقع ﺱ تربيع. ولنفعل ذلك، علينا إضافة صف إضافي إلى الجدول لحساب قيم ﺱ تربيع. سالب خمسة تربيع يساوي ٢٥؛ لأن ضرب عدد سالب في عدد سالب يعطينا عددًا موجبًا. وبالطريقة نفسها، بتربيع سالب أربعة، وسالب ثلاثة، وسالب واحد، نحصل على القيم ١٦، وتسعة، وواحد. يمكننا الآن تكرار العملية التي استخدمناها لحساب توقع ﺱ تربيع. لكن هذه المرة، نضرب قيم ﺱ تربيع في احتمالاتها المناظرة. وهذا يعطينا ٢٥ مضروبًا في ثلث زائد ١٦ مضروبًا في ثمن زائد تسعة مضروبًا في ربع زائد واحد مضروبًا في سبعة على ٢٤. مرة أخرى، يمكننا كتابة ذلك مباشرة على الآلة الحاسبة، لنحصل على ١٠٣ على ثمانية.

الخطوة الثالثة في هذه العملية هي حساب تباين ﺱ. وهذا يساوي توقع ﺱ تربيع ناقص توقع ﺱ الكل تربيع. بالتعويض بالقيم التي حسبناها، نحصل على ١٠٣ على ثمانية ناقص سالب ٧٧ على ٢٤ تربيع. وبكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ١٤٨٧ على ٥٧٦. وبما أن الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لهذا التباين، فيمكننا حساب ذلك بأخذ الجذر التربيعي لـ ١٤٨٧ على ٥٧٦. وبملاحظة أنه علينا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين، فإن هذا يساوي تقريبًا ١٫٦١. إذن الانحراف المعياري للدالة مقربًا لأقرب منزلتين عشريتين هو ١٫٦١.

في السؤال التالي، ستكون إحدى قيم ﺱ في الجدول مجهولة.

الدالة الموضحة في الجدول التالي دالة احتمال للمتغير العشوائي المتقطع ﺱ. إذا كانت قيمة ﺱ المتوقعة ٦٫٥، فأوجد انحراف ﺱ المعياري. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

في هذا السؤال، لدينا القيمة المتوقعة لـ ﺱ، وهي تساوي ٦٫٥. ويمكننا استخدام ذلك لمساعدتنا في إيجاد قيمة البارامتر المجهول ﺃ. نتذكر هنا أنه يمكننا حساب القيمة المتوقعة بضرب كل قيمة من قيم ﺱ في الاحتمال المناظر لها. ثم نوجد بعد ذلك مجموع كل هذه القيم. هذا يعني أن توقع ﺱ يساوي ثلاثة مضروبًا في ٠٫٢ زائد ﺃ مضروبًا في ٠٫١ زائد ستة مضروبًا في ٠٫١ زائد ثمانية مضروبًا في ٠٫٦. بتبسيط هذا الطرف الأيسر، يصبح لدينا ٠٫٦ زائد ٠٫١ﺃ زائد ٠٫٦ زائد ٤٫٨. ونعرف أن هذا يساوي ٦٫٥. بطرح ٠٫٦ و٠٫٦ و٤٫٨ من كلا طرفي المعادلة، نحصل على ٠٫٥ يساوي ٠٫١ﺃ. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا طرفي هذه المعادلة على ٠٫١، ما يعطينا ﺃ يساوي خمسة. إذن القيمة الناقصة في الجدول هي خمسة؛ بمعنى أن احتمال أن يكون ﺱ يساوي خمسة هو ٠٫١.

بعد ذلك، نتذكر أنه لحساب الانحراف المعياري، علينا أن نتبع أربع خطوات. أولًا، نحسب توقع ﺱ. ثانيًا، نحسب توقع ﺱ تربيع. وخطوتنا الثالثة هي حساب تباين ﺱ، الذي يساوي توقع ﺱ تربيع ناقص توقع ﺱ الكل تربيع. وأخيرًا، يمكننا حساب الانحراف المعياري 𝜎 عن طريق أخذ الجذر التربيعي لتباين ﺱ.

بعدما نفرغ بعض المساحة، نكتب ما نعرفه بالفعل وهو أن المتوسط أو القيمة المتوقعة لـ ﺱ، يساوي ٦٫٥. سنحسب توقع ﺱ تربيع بطريقة مشابهة لحساب توقع ﺱ. وهذا يساوي ثلاثة تربيع مضروبًا في ٠٫٢ زائد خمسة تربيع مضروبًا في ٠٫١ زائد ستة تربيع مضروبًا في ٠٫١ زائد ثمانية تربيع مضروبًا في ٠٫٦. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ٤٦٫٣. لدينا الآن قيم كل من توقع ﺱ وتوقع ﺱ تربيع. وتباين ﺱ يساوي توقع ﺱ تربيع ناقص توقع ﺱ الكل تربيع. إذن، في هذه الحالة، لدينا ٤٦٫٣ ناقص ٦٫٥ تربيع. وهذا يساوي ٤٫٠٥. وأخيرًا، يمكننا حساب الانحراف المعياري عن طريق أخذ الجذر التربيعي لهذا التباين. وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، فإن هذا يساوي ٢٫٠١. إذن الانحراف المعياري للدالة في الجدول المعطى مقربًا لأقرب منزلتين عشريتين هو ٢٫٠١.

قبل أن ننتقل إلى مثال أخير، سنتناول معامل الاختلاف. معامل الاختلاف يعطينا الانحراف المعياري على صورة نسبة مئوية للقيمة المتوقعة. إذا افترضنا أن ﺱ متغير عشوائي متقطع له متوسط أو قيمة متوقعة وانحراف معياري 𝜎ﺱ، وإذا افترضنا أيضًا أن 𝜇 لا يساوي صفرًا، فإن معامل الاختلاف يعطى بالعلاقة: معامل اختلاف ﺱ يساوي 𝜎ﺱ مقسومًا على توقع ﺱ مضروبًا في ١٠٠. نفترض أن 𝜇 لا يساوي صفرًا؛ لأن معامل الاختلاف غير معرف عندما يكون المتوسط يساوي صفرًا. وبما أن الانحراف المعياري يكون دائمًا موجبًا، فإن معامل الاختلاف سيكون سالبًا عندما يكون توقع ﺱ سالبًا، وموجبًا عندما يكون توقع ﺱ موجبًا.

من المهم أن نلاحظ أنه على الرغم من أن الانحراف المعياري هو مقياس مطلق للانتشار، فإن معامل الاختلاف هو مقياس نسبي للانتشار. وهذا مفيد لأنه عندما نتعامل مع متغيرات ذات قيم متوقعة أكبر، يكون احتمال انتشارها أكبر على الأرجح. ومن ثم، من المنطقي أن نستخدم مقياسًا نسبيًّا عند مقارنة الانتشارات. يعد معامل الاختلاف مفيدًا أيضًا عند مقارنة مجموعات البيانات بالمتوسطات المختلفة والانحرافات المعيارية. وعليه، فإن معامل الاختلاف يمثل متوسط المسافة التي تبعدها نقاط البيانات عن المتوسط بالنسبة إلى مقدار المتوسط. سنتناول الآن مثالًا علينا فيه حساب معامل الاختلاف.

أوجد معامل اختلاف المتغير العشوائي ﺱ الموضح توزيعه الاحتمالي. قرب إجابتك لأقرب نسبة مئوية.

نعلم أن هذا الشكل هو تمثيل بياني لتوزيع احتمالي. ونتذكر هنا أن معامل الاختلاف يساوي الانحراف المعياري 𝜎 مقسومًا على القيمة المتوقعة أو المتوسط لـ ﺱ مضروبًا في ١٠٠ بالمائة. يمثل معامل الاختلاف هذا متوسط المسافة التي تبعدها نقاط البيانات عن المتوسط بالنسبة إلى مقدار المتوسط. سنبدأ بحساب المتوسط أو القيمة المتوقعة أو توقع س. نفعل هذا بضرب كل قيمة من قيم ﺱ فيما يناظرها من قيم ﺩﺱ أو الاحتمالات. ثم نوجد مجموع كل حواصل الضرب هذه.

من التمثيل البياني، نبدأ بضرب واحد في عشر. بعد ذلك، نضرب ثلاثة في عشرين. علينا أيضًا ضرب خمسة في ثلاثة أعشار وسبعة في أربعة أعشار. بحساب كل حاصل ضرب على حدة، نحصل على ٠٫١، و٠٫٦، و١٫٥، و٢٫٨. إذن، توقع ﺱ يساوي خمسة. ووبما أن علينا حساب الانحراف المعياري أيضًا، فالخطوة التالية هي حساب توقع ﺱ تربيع. وهذا يساوي واحدًا تربيع مضروبًا في عشر زائد ثلاثة تربيع مضروبًا في عشرين زائد خمسة تربيع مضروبًا في ثلاثة أعشار زائد سبعة تربيع مضروبًا في أربعة أعشار. وهذا يساوي ٠٫١ زائد ١٫٨ زائد ٧٫٥ زائد ١٩٫٦. إذن، توقع ﺱ تربيع يساوي٢٩.

بعد ذلك، نتذكر أن التباين أو تباين ﺱ يساوي توقع ﺱ تربيع ناقص توقع ﺱ الكل تربيع. في هذا السؤال، لدينا ٢٩ ناقص خمسة تربيع. وهذا يساوي أربعة. بعد إفراغ بعض المساحة، نجد أن لدينا القيم الثلاث التالية. ونعلم أن الانحراف المعياري 𝜎 يساوي الجذر التربيعي الموجب لتباين ﺱ. هذا يعني أنه في هذا السؤال، الانحراف المعياري هو موجب الجذر التربيعي لأربعة، وهو ما يساوي اثنين. يمكننا الآن التعويض بالقيم التي لدينا في صيغة معامل الاختلاف. علينا ضرب خمسين أو ٠٫٤ في ١٠٠. وهذا يساوي ٤٠ بالمائة. إذن معامل اختلاف المتغير العشوائي ﺱ الموضح في التمثيل البياني هو ٤٠ بالمائة.

الآن سننهي هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية. إذا كان لدينا التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي ﺱ، يمكننا حساب الانحراف المعياري 𝜎 باتباع الخطوات التالية. ‏(١) حساب المتوسط أو القيمة المتوقعة لـ ﺱ (٢) حساب توقع ﺱ تربيع، (٣) حساب تباين ﺱ الذي يساوي توقع ﺱ تربيع ناقص توقع ﺱ الكل تربيع، (٤) حساب 𝜎 الانحراف المعياري عن طريق إيجاد الجذر التربيعي الموجب لـ تباين ﺱ.

ورأينا أيضًا أن معامل الاختلاف يمثل الانحراف المعياري 𝜎 في صورة نسبة مئوية من توقع ﺱ، أي المتوسط؛ حيث معامل الاختلاف يساوي 𝜎 مقسومًا على توقع ﺱ مضروبًا في ١٠٠ بالمائة. ونلاحظ أن الانحراف المعياري هو مقياس مطلق للانتشار، ومعامل الاختلاف هو مقياس نسبي للانتشار.