نسخة الفيديو النصية
أي من الآتي يمثل المعادلة البارامترية للخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل ومركز الكرة التي فيها ﺃ ستة، خمسة، سبعة، وﺏ اثنان، واحد، ثلاثة هما طرفا أحد أقطار الكرة؟ أ: ﺱ يساوي اثنين ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي اثنين ﻙ. ب: ﺱ يساوي أربعة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي خمسة ﻙ. ج: ﺱ يساوي ستة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي خمسة ﻙ. د: ﺱ يساوي ستة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ناقص ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي خمسة ﻙ. هـ: ﺱ يساوي أربعة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ناقص ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي اثنين ﻙ.
هيا نبدأ برسم شكل باستخدام المعلومات المعطاة. نعلم من المعطيات أن طرفي أحد أقطار الكرة هما: النقطة ﺃ التي إحداثياتها ستة، خمسة، سبعة، والنقطة ﺏ التي إحداثياتها اثنان، واحد، ثلاثة. ونريد إيجاد معادلة بارامترية لخط مستقيم يمر بنقطة الأصل لنظامنا الإحداثي، وهي النقطة التي إحداثياتها صفر، صفر، صفر، ومركز الكرة. يمكننا استخدام نقطتي طرفي القطر، وهما ﺃ وﺏ، لإيجاد إحداثيات مركز الكرة. وعندئذ يصبح لدينا إحداثيات نقطتين على المستقيم، وهما مركز الكرة ونقطة الأصل للنظام الإحداثي، وحينئذ يمكننا استخدام إحداثياتهما لإيجاد المعادلة البارامترية للمستقيم.
حسنًا، لدينا كرة، وبما أن المركز هو نقطة تنصيف أي قطر، إذن يمكننا استخدام صيغة نقطة التنصيف الموضحة هنا. وتنص على أن نقطة تنصيف أي قطعة مستقيمة واصلة بين نقطتين هما: ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد وﺱ اثنان، ﺹ اثنان، ﻉ اثنان تكون إحداثياتها: ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين، ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين، ﻉ واحد زائد ﻉ اثنين على اثنين. وعليه، إذا افترضنا أن ﺃ هي النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، وﺏ هي النقطة ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ﻉ اثنين، فإن إحداثيات نقطة تنصيف القطعة المستقيمة الواصلة بين ﺃ وﺏ هي ستة زائد اثنين على اثنين، خمسة زائد واحد على اثنين، سبعة زائد ثلاثة على اثنين، أي ما يساوي ثمانية على اثنين، ستة على اثنين، ١٠ على اثنين. وهذا يعطينا إحداثيات مركز الدائرة ﻡ، وهي أربعة، ثلاثة، خمسة.
لدينا الآن نقطتان على المستقيم الذي يعنينا وهما المركز الذي إحداثياته أربعة، ثلاثة، خمسة، ونقطة الأصل التي إحداثياتها صفر، صفر، صفر. هيا نفرغ بعض المساحة حتى نتمكن من التركيز على المستقيم لدينا؛ لعلنا نتذكر أن المعادلة البارامترية لخط مستقيم في الفضاء تعطى بالعلاقة ﺱ يساوي ﺱ واحدا زائد ﻙﺃ، وﺹ يساوي ﺹ واحدا زائد ﻙﺏ، وﻉ يساوي ﻉ واحدا زائد ﻙﺟ؛ للبارامتر الحقيقي ﻙ، وبحيث يكون متجه الاتجاه للمستقيم ﺭ يساوي ﺃ مضروبًا في متجه الوحدة ﺱ زائد ﺏ مضروبًا في متجه الوحدة ﺹ زائد ﺟ مضروبًا في متجه الوحدة ﻉ. ويمر المستقيم بالنقطة ذات الإحداثيات ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد.
لدينا الآن نقطتان على المستقيم. وهما المركز الذي إحداثياته أربعة، ثلاثة، خمسة، ونقطة الأصل التي إحداثياتها صفر، صفر، صفر. وإذا اخترنا أن تكون نقطة الأصل هي النقطة ﺱ واحدا، ﺹ واحدا، ﻉ واحدا التي يمر بها المستقيم، فإن المعادلات البارامترية ستكون ﺱ يساوي واحدا زائد ﻙﺃ؛ أي ﺱ واحدا زائد ﻙﺃ، وﺹ يساوي واحدا زائد ﻙﺏ، وﻉ يساوي واحدا زائد ﻙﺟ. وعلينا أن نتذكر أن ﺃ وﺏ وﺟ هي معاملات متجه الاتجاه. وأنها تسمى أيضًا نسب الاتجاه.
نعلم أيضًا أنه إذا كان هناك مستقيم يمر بالنقطتين ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ﻉ اثنين، فإن متجه الاتجاه للمستقيم يعطى بالعلاقة ﺭ يساوي ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد في متجه الوحدة ﺱ زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد في متجه الوحدة ﺹ زائد ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد في متجه الوحدة ﻉ. ومن ثم فإن نسب الاتجاه ﺃ وﺏ وﺟ هي ﺱ اثنان ناقص ﺱ واحد، وﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد، وﻉ اثنان ناقص ﻉ واحد، على الترتيب.
مرة أخرى، إذا أخذنا النقطتين: واحدا، واحدا، واحدا؛ وأربعة، ثلاثة، خمسة؛ حيث النقطة صفر، صفر، صفر تناظر ﺱ واحدًا، ﺹ واحدًا، ﻉ واحدًا، والنقطة أربعة، ثلاثة، خمسة تناظر ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ﻉ اثنين، إذن يكون لدينا ﺃ يساوي أربعة ناقص صفر، وﺏ يساوي ثلاثة ناقص صفر، وﺟ يساوي خمسة ناقص صفر. هذا يعني أن ﺃ يساوي أربعة، وﺏ يساوي ثلاثة، وﺟ يساوي خمسة. إذن متجه الاتجاه ﺭ يساوي أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد خمسة ﻉ. بعد ذلك نعوض بهذه القيم عن ﺃ وﺏ وﺟ في المعادلات البارامترية؛ ومن ثم نحصل على ﺱ يساوي أربعة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي خمسة ﻙ. وهنا تعطينا كل قيمة حقيقية للبارامتر ﻙ نقطة وحيدة على المستقيم.
إذن، المعادلة البارامترية للخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل ومركز الكرة التي فيها ﺃ: ستة، خمسة، سبعة، وﺏ: اثنان، واحد، ثلاثة؛ هما طرفا أحد أقطار الكرة، هي ﺱ يساوي أربعة ﻙ، وﺹ يساوي ثلاثة ﻙ، وﻉ يساوي خمسة ﻙ. وهذا يوافق الخيار ب.
