شارح الدرس: الانحراف المعياري للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع الرياضيات

مثال ١: تحديد الانحراف المعياري لمتغيِّر عشوائي متقطِّع

الدالة في الجدول الموضَّح دالة احتمال لمتغيِّر عشوائي متقطِّع . أوجد الانحراف المعياري للمتغيِّر العشوائي . قرِّب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نتذكَّر عملية الخطوات الأربع المستخدَمة للحصول على الانحراف المعياري :

1. احسب .
2. احسب .
3. احسب .
4. احسب .

ولعلنا نتذكَّر أن القيمة المتوقَّعة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع ، بأخذ القيم من ، مُعطاة بواسطة:

عرفنا أن المتغيِّر العشوائي يأخذ قيمًا من . بعد ذلك، يمكننا حساب:

كما نتذكَّر أنه إذا كان المتغيِّر العشوائي المتقطِّع يأخذ قيمًا من ، فإذن مُعطى بواسطة:

إذن:

بعد ذلك، نحسب التباين:

بأخذ الجذر التربيعي:

إذن الانحراف المعياري يساوي ١٫٦١ لأقرب منزلتين عشريتين.

مثال ٢: تحديد الانحراف المعياري لمتغيِّر عشوائي متقطِّع من وصف لفظي

افترض أن يرمز إلى المتغيِّر العشوائي المتقطِّع الذي يأخذ القيم: ٠، ٢، ٤، ٦. إذا كان ، ، ، فأوجد الانحراف المعياري للمتغيِّر ، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نلاحظ أنه على الرغم من وجود أربع قيم ممكنة لـ ، فإن لدينا ثلاثة نواتج فقط لها احتمالاتها المرتبطة. على وجه التحديد، احتمال الناتج ٦ ناقص. وباستخدام حقيقة أن مجموع احتمالات جميع النواتج لا بد أن يساوي ١، فإننا نعرف أن:

هذا يعني: وهو ما يؤدِّي إلى .

نتذكَّر خطوات حساب الانحراف المعياري:

1. احسب .
2. احسب .
3. احسب .
4. احسب .

لذا، نبدأ بحساب:

كما نحسب:

بعد ذلك:

وأخيرًا، بأخذ الجذر التربيعي:

إذن، الانحراف المعياري لأقرب منزلتين عشريتين هو ٢٫٠٦.

مثال ٣: تحديد الانحراف المعياري لمتغيِّر عشوائي متقطِّع

افترض أن يُعبِّر عن متغيِّر عشوائي متقطِّع يُمكِن أن يأخذ القيم: ٠، ٢، ٥. إذا كانت دالة توزيع الاحتمالية ، فأوجد الانحراف المعياري لـ . قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في هذه المسألة، يمكننا إيجاد البارامتر المجهول باستخدام حقيقة أن مجموع احتمالات جميع النواتج لا بد أن يساوي ١. بما أن ٠، ٢، ٥ هي النواتج الممكنة الوحيدة، إذن نعرف أن:

أولًا، نُوجِد قيمة ، ، :

وهذا يؤدِّي إلى:

بضرب طرفَي المعادلة في ٣٦، نحصل على:

وهذا يؤدِّي إلى ، إذن . إذن التوزيع الاحتمالي مُعطى بواسطة:

نحن نتبع الخطوات التي تساعدنا على الحصول على الانحراف المعياري:

1. احسب .
2. احسب .
3. احسب .
4. احسب .

بدايةً لدينا:

بعد ذلك نحسب:

إذن:

وأخيرًا، بأخذ الجذر التربيعي والتقريب لأقرب منزلتين عشريتين:

إذن الانحراف المعياري لأقرب منزلتين عشريتين هو ١٫٦٣.

مثال ٤: تحديد الانحراف المعياري لمتغيِّر عشوائي متقطِّع

الدالة الموضَّحة في الجدول التالي دالة احتمال للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع . إذا كانت قيمة المتوقَّعة ٦٫٥، فأوجد انحراف المعياري. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في هذه المسألة، لدينا القيمة المتوقَّعة . يمكننا كتابة صيغة القيمة المتوقَّعة لتحديد البارامتر المجهول :

بمساواة الطرف الأيسر بـ ٦٫٥، نحصل على ، التي تؤدِّي إلى .

لحساب الانحراف المعياري، نتذكَّر الخطوات الآتية:

1. احسب .
2. احسب .
3. احسب .
4. احسب .

معلوم بالفعل؛ لذا، لا نحتاج إلى تكرار هذه الخطوة. لدينا:

إذن يؤدِّي إلى ، لأقرب منزلتين عشريتين.

إذن الانحراف المعياري لأقرب منزلتين عشريتين هو ٢٫٠١.

مثال ٥: حساب معامل الاختلاف لمتغيِّر عشوائي متقطِّع من تمثيلات بيانية

أوجد مُعامِل اختلاف المتغيِّر العشوائي الموضَّح توزيعه الاحتمالي. قرِّب إجابتك لأقرب نسبة مئوية.

الحل

لقد أُعطِينا التوزيع الاحتمالي في صورة تمثيل بياني. نتذكَّر أن معامل الاختلاف هو ؛ حيث هو الانحراف المعياري.

نبدأ بحساب الوسط الحسابي:

بعد ذلك نحسب الانحراف المعياري. لأننا حسبنا بالفعل ، ننتقل إلى حساب بواسطة:

إذن: تؤدِّي إلى الانحراف المعياري . بحساب النسبة مع الوسط الحسابي:

إذن معامل الاختلاف هو ٤٠٪.

مثال ٦: حساب معامل الاختلاف لمتغيِّر عشوائي متقطِّع من وصف لفظي

افترض أن يشير إلى متغيِّر عشوائي متقطِّع يمكن أن يأخذ القيم ٢، ٣، ٥، ٧. إذا كان ، ، ، ، فأوجد معامل الاختلاف لأقرب نسبة مئوية.

الحل

نتذكَّر أن معامل الاختلاف مُعطى بواسطة ؛ حيث هو الانحراف المعياري.

نبدأ بحساب الوسط الحسابي:

بعد ذلك نحسب الانحراف المعياري. وبما أننا حسبنا بالفعل ، إذن ننتقل إلى حساب بواسطة:

إذن ، والانحراف المعياري . وأخيرًا، بأخذ النسبة مع الوسط الحسابي:

وبالتقريب إلى أقرب نسبة مئوية، يكون معامل الاختلاف ٣٦٪.