شارح الدرس: تطبيق نظرية فيثاغورس على الهرم والمخروط الرياضيات

مثال ١: إيجاد مساحة شكل يتضمَّن قطرًا في مكعب بمعلومية أبعاده

إذا كان مكعبًا طول حرفه سم، منتصف ، فأوجد مساحة المستطيل .

الحل

لعلنا نتذكَّر أولًا أنه يمكن إيجاد مساحة المستطيل باستخدام الصيغة: . في المستطيل ، تساوي المساحة .

طول يساوي سم؛ لأنه يوازي حرف المكعب وله الطول نفسه. لإيجاد طول ، ننظر إلى قاعدة المكعب التي على شكل مربع. بما أن النقطة هي منتصف ، إذن فهي تقسم إلى جزأين متساويين، كل جزء منهما طوله . وبما أن جميع الزوايا الداخلية للمربع قياسها ، إذن المثلث الذي يتكوَّن من ، ، مثلث قائم الزاوية في .

وتر هذا المثلث هو ، ووفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن:

بالتعويض بالقيمة عن ، وبالقيمة عن ، نحصل على:

نحل هذه المعادلة بإيجاد قيمة كل مربع أولًا، ثم بالتبسيط:

بأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة، نحصل على:

إذن مساحة المستطيل تساوي:

مثال ٢: إيجاد ارتفاع الهرم باستخدام نظرية فيثاغورس

هرم منتظم، تمثِّل قاعدته مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه ٣٢ سم. إذا كان طول الحرف الجانبي للهرم ٨٨ سم، فأوجد ارتفاعه لأقرب جزء من مائة.

الحل

نبدأ برسم الهرم، كما هو موضَّح في الآتي (ليس بالأبعاد الحقيقية).

المطلوب منا هو حساب ارتفاع الهرم. هذه هي المسافة الرأسية من رأسه إلى مركز قاعدة الهرم، الذي نُسمِّيه . نرسم هذا الارتفاع على الشكل، ونرسم أيضًا الخط الواصل بين أحد رءوس القاعدة والنقطة .

حرف جانبي لهذا الهرم، وطوله مُعطى في السؤال. قطعة مستقيمة في قاعدة الهرم، الارتفاع الرأسي للهرم، وهو عمودي على . ومن ثَمَّ، يصبح لدينا مثلث قائم الزاوية يتكوَّن من ، ، . وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن:

طول مُعطى في السؤال. من أجل حساب طول ، علينا أولًا حساب طول .

ننظر الآن إلى قاعدة الهرم التي على شكل مثلث متساوي الأضلاع. النقطة مركز هذا المثلث، وهي النقطة التي تتقاطع عندها متوسِّطات المثلث الثلاثة. النقطة هي منتصف الضلع .

وبما أن المثلث متساوي الأضلاع، إذن متوسطاته الثلاثة كلها متساوية في الطول. كما نعلم أن مركز المثلث يقسم كل متوسط بنسبة من الرأس. ومن ثَمَّ، ، .

والآن، ننظر إلى المثلث . هذا مثلث قائم الزاوية عند ؛ حيث المتوسط يقسم المثلث المتساوي الأضلاع إلى مثلثين قائمين متطابقين. طول يساوي نصف طول ؛ لذلك، فإنه يساوي ١٦ سم. إذن يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس لحساب طول ، وهو ما يمكِّننا من حساب طول .

بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث ، نحصل على:

بالتعويض بقيمتَي ، ، نحصل على:

نُوجِد قيمة بأخذ الجذر التربيعي على النحو الآتي:

يمكننا بعد ذلك حساب طول بتذكُّر أن :

وأخيرًا، نعود إلى تطبيق نظرية فيثاغورس في المثلث :

بالتعويض بقيمتَي ، ، نحصل على:

بطرح من طرفَي المعادلة وحساب القيم المربعة، نحصل على:

نُوجِد قيمة بأخذ الجذر التربيعي:

ارتفاع الهرم، لأقرب جزء من مائة، هو ٨٦٫٠٤ سم.

مثال ٣: إيجاد الارتفاع الرأسي والارتفاع الجانبي لهرم رباعي بمعلومية أبعاد شبكته

لدينا شبكة هرم رباعي بالأبعاد الموضَّحة.

1. أوجد ارتفاع الهرم لأقرب جزء من مائة.
2. أوجد الارتفاع الجانبي للهرم لأقرب جزء من مائة.

الحل

الجزء الأول

نبدأ برسم الهرم في ثلاثة أبعاد. من الشبكة، نجد أن طول ضلع القاعدة التي على شكل مربع هو ٥ سم. المستقيمان اللذان طولهما ٤ سم يمثِّلان الضلعين الآخرين لأوجه الهرم التي على شكل مثلث، وبذلك نستنتج أن طول الحرف الجانبي للهرم يساوي ٤ سم.

النقطة في الرسم هي النقطة التي يلتقي عندها الخط الرأسي المرسوم من قمة الهرم بقاعدة الهرم التي على شكل مربع. تقع هذه النقطة في مركز القاعدة. الارتفاع الرأسي للهرم هو ، وهو عمودي على أي مستقيم في قاعدة الهرم يمر بالنقطة . وعلى وجه التحديد، يكون عموديًّا على القطع المستقيمة التي تصل النقطة بكل رأس من رءوس الهرم. إذن المثلث الذي يتكوَّن من الارتفاع الرأسي ، والحرف الجانبي ، والقطعة المستقيمة ، هو مثلث قائم الزاوية في ، كما هو موضَّح في الآتي.

وهكذا، وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن:

طول مُعطى، لكن من الضروري حساب طول قبل أن نتمكَّن من حساب طول . انظر إلى قاعدة الهرم التي على شكل مربع، وتذكَّر أن النقطة تقع في مركز هذا المربع. نتذكَّر أيضًا أن مركز المربع هو نقطة تقاطع القطرين، وينصِّف كلٌّ منهما الآخر.

طول يساوي نصف طول القطر . يقسم هذا القطر القاعدة التي على شكل مربع إلى مثلثين قائمين متطابقين. وهكذا، وفقًا لنظرية فيثاغورس في المثلث ، فإن:

بالتعويض بالقيمة ٥ عن كلٍّ من ، ، نحصل على:

نُوجِد قيمة بأخذ الجذر التربيعي:

طول يساوي نصف هذه القيمة:

بالعودة إلى النص السابق لنظرية فيثاغورس في المثلث ، نعوِّض بالقيمة عن ، وبالقيمة ٤ عن ، لنحصل على المعادلة الآتية:

يمكن حل هذه المعادلة بحساب القيم المربعة أولًا، ثم عزل في طرف وحده:

وأخيرًا، نُوجِد قيمة بإيجاد الجذر التربيعي لطرفَي هذه المعادلة:

الارتفاع الرأسي للهرم، لأقرب جزء من مائة، هو ١٫٨٧ سم.

الجزء الثاني

نرسم الآن الارتفاع الجانبي للهرم على أحد أوجهه. نُحدِّد النقطة لتمثِّل منتصف الضلع .

يكوِّن الارتفاع الجانبي مثلثًا قائم الزاوية يضم الارتفاع العمودي للهرم والقطعة المستقيمة التي تصل بين النقطتين ، ، وهي القطعة المستقيمة التي تصل مركز القاعدة بمنتصف أحد أضلاع القاعدة. وهكذا، وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن:

في الجزء الأول من السؤال، حدَّدنا قيمة بأنها تساوي . والقطعة المستقيمة توازي الضلع في قاعدة الهرم، وبما أن النقطة هي مركز القاعدة، إذن . ومن ثَمَّ، طول يساوي سم. بالتعويض بهاتين القيمتين في نص نظرية فيثاغورس في المثلث ، نحصل على:

بإيجاد القيمة وبالتبسيط، نحصل على:

لإيجاد قيمة ، نُوجِد الجذر التربيعي لطرفَي هذه المعادلة:

الارتفاع الجانبي للهرم، لأقرب جزء من مائة، هو ٣٫١٢ سم.

مثال ٤: إيجاد محيط ومساحة قاعدة مخروط دائري قائم بمعلومية ارتفاعه، وطول راسمه بتطبيق نظرية فيثاغورس

مخروط دائري قائم، ارتفاعه ٩٠ سم وطول راسمه ١٠٦ سم. أوجد كلًّا من محيط ومساحة قاعدته بدلالة .

الحل

نتذكَّر أولًا صيغتَي حساب محيط الدائرة ومساحتها: ، و؛ حيث يمثِّل نصف القطر. ومن ثَمَّ، علينا أولًا حساب نصف قطر القاعدة الدائرية للمخروط.

نرسم الآن المخروط. تذكَّر أن ارتفاع المخروط الدائري القائم، الذي يُشار إليه عادةً بالرمز ، هو البُعد العمودي بين مركز القاعدة وقمة المخروط. يُشار إلى راسم المخروط بالرمز ، وهو المسافة من أي نقطة على محيط القاعدة الدائرية إلى القمة، مرورًا بسطح المخروط.

بعد ذلك، نلاحظ أننا إذا رسمنا نصف قطر المخروط، فإن المثلث المكوَّن من نصف القطر والارتفاع وراسم المخروط هو مثلث قائم الزاوية.

وهكذا، وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن:

بطرح من طرفَي المعادلة وبالتبسيط، نحصل على:

نُوجِد قيمة بأخذ الجذر التربيعي الموجب:

بالتعويض بقيمة في صيغة محيط الدائرة، نحصل على:

ينص السؤال على أن الناتجين لا بد أن يكونا بدلالة ، وبذلك لن نحتاج إلى إيجاد قيمة هذا.

بالتعويض بقيمة من المرحلة قبل الأخيرة في خطوات إيجاد صيغة مساحة الدائرة، نحصل على:

ومن ثَمَّ، محيط القاعدة الدائرية يساوي سم، والمساحة تساوي سم^٢.

مثال ٥: استخدام نظرية فيثاغورس لحساب ارتفاع المخروط بمعلومية شبكته

طُوِيت قطعة من الورق على شكل قطاع دائري نصف قطره ٧٢ سم بزاوية وبطريقة تجعل النقطتين ، تلتقيان وتشكِّلان مخروطًا دائريًّا بأكبر مساحة ممكنة له. أوجد ارتفاع المخروط لأقرب جزء من مائة.

الحل

يمثِّل الشكل المُعطى شبكة المخروط. نبدأ برسم المخروط في ثلاثة أبعاد. راسم المخروط المطوي يكافئ طول القطعتين المستقيمتين الواصلتين بين كلٍّ من النقطتين ، ومركز القطاع الدائري. هذا يساوي طول نصف قطر القطاع، وهو مُعطى في السؤال باعتباره يساوي ٧٢ سم. إذا كان المخروط بأكبر مساحة ممكنة له، فلا بد ألَّا يتداخل الورق، وبذلك يجب أن يساوي محيط الدائرة عند قاعدة المخروط طول قوس القطاع الدائري.

لعلنا نتذكَّر أن نصف قطر القاعدة والارتفاع العمودي وراسم المخروط تكوِّن معًا مثلثًا قائم الزاوية. ومن ثَمَّ، بتطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث القائم الزاوية في المخروط الموضَّح سابقًا، نحصل على:

لتحديد ارتفاع المخروط، علينا أولًا حساب نصف قطر قاعدته. نبدأ بحساب طول قوس القطاع الدائري، وهو ما يساوي محيط القاعدة الدائرية. لعلنا نتذكَّر الصيغة الآتية: حيث هي الزاوية المركزية للقطاع، ومقيسة بالدرجة، هو نصف القطر. نلاحظ أننا استخدمنا هنا لتمييز هذا الطول عن نصف قطر قاعدة المخروط. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمتَي ، لحساب طول القوس:

وبما أن طول قوس القطاع الدائري يساوي محيط القاعدة الدائرية للمخروط، إذن يمكننا حساب نصف قطر الدائرة بتذكُّر الصيغة . ومن ثَمَّ:

بقسمة طرفَي هذه المعادلة على ، نحصل على:

وأخيرًا، نعوِّض بقيمة هذه في النص السابق لنظرية فيثاغورس:

بحساب القيم المربعة، نحصل على:

لإيجاد قيمة ، نطرح ٣‎ ‎٠٢٥ من طرفَي المعادلة، ثم نُوجِد الجذر التربيعي:

ارتفاع المخروط، لأقرب جزء من مائة، هو ٤٦٫٤٧ سم.