شارح الدرس: حلُّ أنظمة المتباينات الخطية الرياضيات

مثال ١: إيجاد نظام المتباينات الذي يمثِّله تمثيل بياني معطى

أوجد نظام المتباينات الذي يمثِّل الشكل التالي حلًّا له.

الحل

المساحة المظللة تمثِّل جميع القيم غير السالبة لـ ، ، وهي التي يمكن أن نمثِّلها بالمتباينتين:

لكي نرى ذلك دعونا نفكِّر في كل متباينة على حدة، ونرى موضع تداخلهما. وهي جميع القيم غير السالبة لـ متضمِّنة المحور مظللة في الربعين الأول والرابع.

وبالمثل، وهي جميع القيم غير السالبة لـ متضمِّنة المحور مظللة في الربعين الأول والثاني.

المنطقة التي تتداخل فيها كلتا المتباينتين تقع في الربع الأول، وتمثِّلها المنطقة التي تتداخل فيها المناطق المظللة لكل متباينة.

منطقة التداخل هي بالضبط الحل الذي يمثِّله التمثيل البياني المعطى.

مثال ٢: إيجاد نظام المتباينات الذي يمثِّله تمثيل بياني معطى

اذكر نظام المتباينات الذي يمثِّل التمثيل البياني الآتي حلَّه.

الحل

تذكَّر أن التظليل بالأعلى أو على اليمين في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظامًا من المتباينات يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل أو على اليسار يعني: «أقل من» خط محدَّد مُعرَّف بـ أو أو الصيغة العامة للخط المستقيم . بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا أن نفكِّر في حدود المنطقة؛ حيث الخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».

إذا كان لدينا نظام متباينات فإن الحلول الممكنة سوف تقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات في النظام. تتضمَّن مجموعة الحل حدود تقاطعات جميع المتباينات فقط إذا كان لدينا خط متصل لحدَّي المنطقة؛ حيث يجب أن تتحقَّق المتباينات جميعها، أما المتباينة التامة التي يمثِّلها خط متقطِّع عند أحد الحدين أو كليهما فستؤدي لاستبعاد هذا الخط من مجموعة الحل.

تقع المنطقة المظللة في الربع الأول لجميع قيم ، غير السالبة، وهي التي يمكن كتابتها على صورة المتباينتين:

المستقيمان الرأسيان الموازيان لـ هما ، . بما أن الحد على يسار المنطقة الحمراء عند يمثِّله خط متصل، والحد على يمين المنطقة الحمراء عند يمثِّله خط متقطِّع؛ إذن لدينا المتباينتان: ، ، وهما تكافئان:

وبالمثل، المستقيمان الأفقيان الموازيان للمحور هما ، . وبما أن المستقيمين على جانبَي المنطقة الزرقاء متصلان فإنه تكون لدينا المتباينتان: و، وهما تكافئان:

معادلة الخط المستقيم الذي يمرُّ بالنقطتين: ، هي: ، وهو خط متصل على التمثيل البياني. بما أن الجزء المظلل باللون الأصفر يقع أسفل هذا الخط فإنه تكون لدينا المتباينة: وهي التي يمكن إعادة ترتيبها على الصورة:

إذن، نظام المتباينات الذي يمثِّله التمثيل البياني هو:

مثال ٣: إيجاد المتباينة التي يمثِّلها تمثيل بياني معطى

المساحة المظللة التي تمثِّل مجموعة حل المتباينتين ، تساوي .

الحل

معادلة الخط المستقيم الذي يمرُّ بالنقطتين: ، هي: . بما أن المنطقة المظللة تقع أسفل هذا الخط فإنه يمثِّل المنطقة ، وهي التي تكافئ المتباينة:

وهذا هو الخيار (ب).

مثال ٤: إيجاد نظام المتباينات الذي يمثِّله تمثيل بياني معطى

اذكر نظام المتباينات الذي يمثِّل التمثيلُ البيانيُّ الآتي حلَّه.

الحل

تذكَّر أن التظليل بالأعلى في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظام متباينات يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل يعني: «أقل من» الخط المستقيم الذي تُعرِّفه المعادلة: . بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا التفكير في حدِّ المنطقة؛ فالخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».

إذا كان لدينا نظام متباينات فإن الحلول الممكنة تقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات في النظام. لا نُضمِّن حدود التقاطعات لجميع المتباينات في مجموعة الحل إلا إذا كان لدينا خط متصل لحدَّي المنطقة؛ لأنه يجب أن تتحقَّق المتباينات جميعها، أما المتباينة التامة التي يمثِّلها خط متقطِّع عند أحد الحدين أو كليهما فستؤدي لاستبعاد هذا الخط من مجموعة الحل.

معادلة الخط المستقيم الذي يمرُّ بالنقطتين: ، هي: ، ويمثِّلها خط متصل على التمثيل البياني. وبما أن المنطقة المظللة باللون الأصفر تقع أعلى هذا الخط فإنه تكون لدينا المتباينة:

وبالمثل، معادلة الخط المستقيم الذي يمرُّ بالنقطتين: ، هي: ، ويمثِّلها خط متقطِّع على التمثيل البياني. وبما أن المنطقة المظللة باللون الأحمر تقع أعلى هذا الخط فإنه تكون لدينا المتباينة:

إذن، نظام المتباينات الذي يمثِّل التمثيل البياني هو:

مثال ٥: كتابة نظام المتباينات الذي يصف منطقة على تمثيل بياني

أوجد نظام المتباينات الذي يكوِّن المثلث الموضَّح في التمثيل البياني.

الحل

تذكَّر أن التظليل بالأعلى في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظام متباينات يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل يعني: «أقل من» الخط المستقيم الذي تُعرِّفه المعادلة: . بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا التفكير في حدِّ المنطقة؛ فالخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».

إذا كان لدينا نظام متباينات فإن الحلول الممكنة له ستقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات في النظام. لا نُضمِّن حدود التقاطعات لجميع المتباينات في مجموعة الحل إلا إذا كان لدينا خط متصل لحدَّي المنطقة؛ لأنه يجب أن تتحقَّق المتباينات جميعها، أما المتباينة التامة التي يمثِّلها خط متقطِّع عند أحد الحدين أو كليهما فستؤدي لاستبعاد هذا الخط من مجموعة الحل.

معادلة الخط المستقيم الذي يمرُّ بنقطة الأصل ويتقاطع مع المستقيمين الآخَرين عند النقطتين: ، هي: ؛ ويمثِّله على التمثيل البياني خط متصل. وبما أن الجزء المظلل يقع فوق هذا الخط فستكون لدينا المتباينة:

وبالمثل، معادلة الخط المستقيم الذي له ميل موجب ويقطع المستقيمين الآخَرين عند النقطتين: ، هي: ، ويمثِّله خط متقطِّع على التمثيل البياني. وبما أن المنطقة المظللة تقع أسفل هذا الخط فستكون لدينا المتباينة:

وأخيرًا، معادلة الخط المستقيم الذي له ميل سالب ويقطع الخطين الآخَرين عند النقطتين: ، هي: ، ويمثِّله خط متصل على التمثيل البياني. وبما أن المنطقة المظللة تقع أسفل هذا الخط فستكون لدينا المتباينة:

وبذلك يكون نظام المتباينات الذي يكوِّن المثلث الموضَّح في التمثيل البياني هو:

مثال ٦: تحديد المناطق التي تمثِّل الحلول لنظام متباينات

أيُّ المناطق على التمثيل البياني يحتوي على حلول للمتباينة: ؟

الحل

تذكَّر أن التظليل بالأعلى في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظام متباينات يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل يعني: «أقل من» الخط المستقيم الذي تُعرِّفه المعادلة: . بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا التفكير في حدِّ المنطقة؛ فالخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».

إذا كان لدينا نظام متباينات فإن الحلول الممكنة له ستقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات في النظام. لا نُضمِّن حدود التقاطعات لجميع المتباينات في مجموعة الحل إلا إذا كان لدينا خط متصل لحدَّي المنطقة؛ لأنه يجب أن تتحقَّق المتباينات جميعها، أما المتباينة التامة التي يمثِّلها خط متقطِّع عند أحد الحدين أو كليهما فستؤدي لاستبعاد هذا الخط من مجموعة الحل.

في التمثيل البياني لدينا ثلاثة مستقيمات مختلفة عند حدود المناطق الموضَّحة. اثنان من هذه المستقيمات متقطِّعان، والثالث متصل. لدينا خطان مستقيمان ميلهما موجب ويمرُّ أحدهما بنقطة الأصل، والمستقيم الثالث ميله سالب.

المتباينة: يمكن تمثيلها بخط متصل لأن حدَّ المنطقة متضمَّن في المنطقة، والمساحة المظللة ستكون المنطقة التي تقع أعلى الخط وفقًا لعلامة المتباينة . هذا هو الخط المتصل الذي يمرُّ بالنقطتين: ، ، وميله موجب كما هو موضَّح في التمثيل البياني.

ومن ثَمَّ، فإن المناطق الموجودة على التمثيل البياني والتي تحتوي على حلول للمتباينة: ؛ هي: (أ)، (ب)، (ج)، (د).

مثال ٧: تحديد المناطق التي تمثِّل الحلول لنظام المتباينات

أيُّ المناطق على التمثيل البياني فيها حلول تحقِّق كلًّا من المتباينتين الآتيتين:

الحل

تذكَّر أن التظليل بالأعلى في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظام متباينات يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل يعني: «أقل من» الخط المستقيم الذي تُعرِّفه المعادلة: . بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا التفكير في حدِّ المنطقة؛ فالخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».

إذا كان لدينا نظام متباينات فإن الحلول الممكنة له ستقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات في النظام. لا نُضمِّن حدود التقاطعات لجميع المتباينات في مجموعة الحل إلا إذا كان لدينا خط متصل لحدَّي المنطقة؛ لأنه يجب أن تتحقَّق المتباينات جميعها، أما المتباينة التامة التي يمثِّلها خط متقطِّع عند أحد الحدين أو كليهما فستؤدي لاستبعاد هذا الخط من مجموعة الحل.

المتباينة: يمكن تمثيلها بخط متقطِّع لأن حدَّ المنطقة غير متضمَّن في المنطقة، والمساحة المظللة ستكون المنطقة أسفل الخط وفقًا لعلامة المتباينة . هذا هو الخط المتقطِّع الذي يمرُّ بنقطة الأصل، وميله موجب.

وبالمثل، المتباينة: يمكن تمثيلها بخط متصل لأن حدَّ المنطقة متضمَّن في المنطقة، والمساحة المظللة ستكون المنطقة أعلى الخط وفقًا لعلامة المتباينة . هذا هو الخط المتصل الذي يمرُّ بالنقطتين: ، ، وميله موجب كما نرى في التمثيل البياني.

إذن، المناطق الموجودة على التمثيل البياني وتمثِّل حلولًا تحقِّق المتباينتين: ، هي: (ج)، (د).

مثال ٨: تحديد المناطق التي تمثِّل الحلول لنظام متباينات

أيُّ المناطق على التمثيل البياني يحتوي على حلول مجموعة المتباينات:

الحل

تذكَّر أن التظليل بالأعلى أو على اليمين في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظام متباينات يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل أو على اليسار يعني: «أقل من» خط محدَّد بالنقطتين: ، أو الخط المستقيم: . بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا التفكير في حدِّ المنطقة؛ فالخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».

إذا كان لدينا نظام متباينات فإن الحلول الممكنة له ستقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات في النظام. لا نُضمِّن حدود التقاطعات لجميع المتباينات في مجموعة الحل إلا إذا كان لدينا خط متصل لحدَّي المنطقة؛ لأنه يجب أن تتحقَّق المتباينات جميعها، أما المتباينة التامة التي يمثِّلها خط متقطِّع عند أحد الحدين أو كليهما فستؤدي لاستبعاد هذا الخط من مجموعة الحل.

المتباينة: يمكن تمثيلها بخط متقطِّع بما أن حدَّ المنطقة غير متضمَّن في المنطقة، والمساحة المظللة ستكون المنطقة أعلى الخط وفقًا لعلامة المتباينة . هذا هو الخط المتقطِّع الموازي للمحور كما هو موضَّح على التمثيل البياني.

وبالمثل، المتباينة: يمكن تمثيلها بخط متصل لأن حدَّ المنطقة متضمَّن في المنطقة، والمساحة المظللة ستكون المنطقة أعلى الخط وفقًا لعلامة المتباينة . هذا هو الخط المتصل الذي يمرُّ بنقطة الأصل، وميله سالب.

وأخيرًا، المتباينة: يمكن تمثيلها بخط متقطِّع بما أن حدَّ المنطقة غير متضمَّن في المنطقة، والمساحة المظللة ستكون المنطقة أسفل الخط وفقًا لعلامة المتباينة . هذا هو الخط المتقطِّع الموازي لمحور كما هو موضَّح على التمثيل البياني.

المنطقة التي تحقِّق جميع المتباينات ستكون تقاطُع جميع المناطق المظللة للمتباينات.

ومن ثَمَّ، فإن المنطقة الموجودة على التمثيل البياني والتي تحتوي على حلول نظام المتباينات: ؛ هي: (د).